Question

如图，抛物线l₁：y₁=a（x+1）²+2与l₂：y₂=-（x-2）²-1交于点B（1，-2），且分别与y轴交于点D、E．过点B作x轴的平行线，交抛物线于点A、C，则以下结论：
①无论x取何值，y₂总是负数；
②l₂可由l₁向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；
③当-3＜x＜1时，随着x的增大，y₁-y₂的值先增大后减小；
④四边形AECD为正方形．
其中正确的是

1. A.
   1个
2. B.
   2个
3. C.
   3个
4. D.
   4个

Answer 1

C
分析：①由非负数的性质，即可证得y₂=-（x-2）²-1≤-1＜0，即可得无论x取何值，y₂总是负数；
②由抛物线l₁：y₁=a（x+1）²+2与l₂：y₂=-（x-2）²-1交于点B（1，-2），可求得a的值，然后由抛物线的平移的性质，即可得l₂可由l₁向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；
③由 y₁-y₂=-（x+1）²+2-[-（x-2）²-1]=-6x+6，可得随着x的增大，y₁-y₂的值减小；
④首先求得点A，C，D，E的坐标，即可证得AF=CF=DF=EF，又由AC⊥DE，即可证得四边形AECD为正方形．
解答：①∵（x-2）²≥0，
∴-（x-2）²≤0，
∴y₂=-（x-2）²-1≤-1＜0，
∴无论x取何值，y₂总是负数；
故①正确；
②∵抛物线l₁：y₁=a（x+1）²+2与l₂：y₂=-（x-2）²-1交于点B（1，-2），
∴当x=1时，y=-2，
即-2=a（1+1）²+2，
解得：a=-1；
∴y₁=-（x+1）²+2，
∴l₂可由l₁向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；
故②正确；
③∵y₁-y₂=-（x+1）²+2-[-（x-2）²-1]=-6x+6，
∴随着x的增大，y₁-y₂的值减小；
故③错误；
④设AC与DE交于点F，
∵当y=-2时，-（x+1）²+2=-2，
解得：x=-3或x=1，
∴点A（-3，-2），
当y=-2时，-（x-2）²-1=-2，
解得：x=3或x=1，
∴点C（3，-2），
∴AF=CF=3，AC=6，
当x=0时，y₁=1，y₂=-5，
∴DE=6，DF=EF=3，
∴四边形AECD为平行四边形，
∴AC=DE，
∴四边形AECD为矩形，
∵AC⊥DE，
∴四边形AECD为正方形．
故④正确．
故选C．
点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式、非负数的性质、二次函数的平移以及正方形的判定．此题难度较大，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．