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    (2004　辽宁沈阳)如图所示，和外切于点A，BC是和的公切线，B、C为切点．

    (1)求证：AB⊥AC；

    (2)过点A的直线分别交、于点D、E，且DE是连心线时，直线DB与直线EC交于点F，请在图中画出图形，并判断DF与EF是否互相垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由；

    (3)在(2)的其他条件不变的情况下，将直线DE绕点A旋转(D、E不与点A、B、C重合)，请另画出图形，并判断DF与EF是否互相垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由．

    答案：略
    解析：

    解　(1)证明　如图所示，

    过点A作和的内公切线交BC于点O．

    因为OB、OA是的切线，

    ∴OB=OA．

    同理OC=OA．

    ∴OB=OC=OA．

    ∴△ABC是直角三角形．

    ∴AB⊥AC．

    (2)DF⊥EF．

    如图所示

    ∵和外切于点A，

    ∴∠ABC=∠FDA，∠ACB=∠FEA．

    由(1)得∠ABC＋∠ACB=∠90°，

    ∴∠FDA＋∠FEA=90°，

    ∴∠DFE=90°，即DF⊥EF．

    (3)DF⊥EF．

    第一种情况：如图所示

    证法同(2)．

    第二种情况：如图所示

    ∵∠ACB=∠FEA，∠CBD=∠BAD，∠EDF=∠DBA＋∠DAB，

    ∴∠EDF=∠ABC．

    ∵∠ABC＋∠ACB=90°，

    ∴∠EDF＋∠AEC=90°．

    ∴∠DFE=90°．

    ∴EF⊥DF．

    第三种情况如图所示

    证明同第二种情况．


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