Question

如图，正方形ABCD的边长是8cm，以正方形的中心O为圆心，EF为直径的半圆切AB于M、切BC于N，已知C为BG的中点，AG交CD于H．P，Q同时从A出发，P以1cm/s的速度沿折线ADCG运动，Q以

5

2

cm/s的速速沿线段AG方向运动，P，Q中有一点到达终点时，整个运动停止．P，Q运动的时间记为t．
（1）当t=4时，求证：△PEF≌△MEF；
（2）当0≤t≤8时，试判断PQ与CD的位置关系；
（3）当t＞8时，是否存在t使得

PQ

EF2+16 2

=

5

16

？若存在请求出所有t的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：圆的综合题,二次函数的性质,二次函数的最值,平行线的判定,全等三角形的判定与性质,勾股定理,平行四边形的判定与性质,正方形的性质,切线的性质,相似三角形的判定与性质

专题：压轴题

分析：（1）连接OM，如图1，易证△AMO∽△ABC，从而得到AM=OM=4．当t=4时，AP=4=AM，从而可以证到△MAE≌△PAE，则有EM=EP，∠AEM=∠AEP，从而有∠MEF=∠PEF，就可证到△MEF≌△PEF．
（2）连接DG，如图2，由勾股定理可求出AG=8

5

．易证四边形ACGD是平行四边形，从而可求出DH=HC=4，AH=GH=4

5

．由AP=t，AQ=

5

2

t，AD=8，AH=4

5

可推出△PAQ∽△DAH，从而有∠AQP=∠AHD，则有PQ∥DC．
（3）过点Q作QT⊥DC于点T，如图3所示．由条件可得到8＜t≤16．易证△HTQ∽△HCG，从而有HT=

t

2

-4，QT=t-8．进而可得到PT=

.

DT-DP

.

=

.

8- t 2

.

．根据勾股定理可得PQ²=

5

4

（t-

48

5

）²+

64

5

．利用二次函数的性质，由8＜t≤16可得

8 5

5

≤PQ≤8．由EF=8得EF²+16

2

=64+16

2

．若

PQ

EF2+16 2

=

5

16

，可得PQ=4

5

+

10

，从而得到11＜PQ＜16．与“

8 5

5

≤PQ≤8”矛盾，故当t＞8时，不存在t使得

PQ

EF2+16 2

=

5

16

．

解答：解：（1）证明：连接OM，如图1，
当t=4时，AP=1×4=4．
∵EF为直径的半圆切AB于M，
∴OM⊥AB，即∠AMO=90°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，∠BAC=∠DAC=45°，AO=

1

2

AC．
∴∠AMO=∠ABC．
∴OM∥BC．
∴△AMO∽△ABC．
∴

AM

AB

=

OM

BC

=

AO

AC

．
∴AM=

1

2

AB=4，OM=

1

2

BC=4．
∴AM=AP．
在△MAE和△PAE中，

AM=AP ∠MAE=∠PAE AE=AE

．
∴△MAE≌△PAE．
∴EM=EP，∠AEM=∠AEP．
∴∠MEF=∠PEF．
在△MEF和△PEF中，

EM=EP ∠MEF=∠PEF EF=EF

．
∴△MEF≌△PEF．

（2）当0≤t≤8时，PQ∥CD．
证明：∵AP=t≤8，
∴点P在线段AD上，如图2．
连接DG，
∵AB=8，BG=16，∠ABG=90°，
∴AG=

AB2+BG2

=8

5

．
∵四边形ABCD是正方形，C为BG的中点，
∴AD∥BC，AD=BC=CG．
∴AD∥CG，AD=CG．
∴四边形ACGD是平行四边形．
∴DH=HC=

1

2

DC=4，AH=GH=

1

2

AG=4

5

．
∵AP=t，AQ=

5

2

t，AD=8，AH=4

5

，
∴

AP

AD

=

t

8

=

AQ

AH

．
∵∠PAQ=∠DAH，
∴△PAQ∽△DAH．
∴∠AQP=∠AHD．
∴PQ∥DC．

（3）当t＞8时，不存在t使得

PQ

EF2+16 2

=

5

16

．
理由如下：
∵点P到达终点所用时间为

24

1

=24秒，点Q到达终点所用时间为

8 5

5 2

=16秒，
∴8＜t≤16．
此时点P在DC上，点Q在HG上．
过点Q作QT⊥DC于点T，如图3所示．
∴∠HTQ=90°=∠HCG．
∴QT∥CG．
∴△HTQ∽△HCG．
∴

HT

HC

=

QT

CG

=

HQ

HG

．
∵HC=4，CG=8，HG=4

5

，HQ=

5

2

t-4

5

，
∴HT=

t

2

-4，QT=t-8．
∴DT=DH+HT=4+

t

2

-4=

t

2

．
∵DP=t-8，
∴PT=

.

DT-DP

.

=

.

8- t 2

.

．
∴PQ²=PT²+QT²=（8-

t

2

）²+（t-8）²
=

5

4

t²-24t+128
=

5

4

（t-

48

5

）²+

64

5

．
∵8＜t≤16，
∴当t=

48

5

时，PQ²取最小值，最小值为

64

5

．
此时PQ=

8 5

5

．
当t=8时，PQ²=16，则PQ=4；
当t=16时，PQ²=64，则PQ=8．
∴

8 5

5

≤PQ≤8．
∵EF=20M=8，
∴EF²+16

2

=64+16

2

．
若

PQ

EF2+16 2

=

5

16

，
则PQ=

5

16

×（64+16

2

）=4

5

+

10

．
∵2＜

5

＜3，∴8＜4

5

＜12．
∵3＜

10

＜4，
∴11＜4

5

+

10

＜16．
∴11＜PQ＜16．
与“

8 5

5

≤PQ≤8”矛盾，
所以当t＞8时，不存在t使得

PQ

EF2+16 2

=

5

16

．

点评：本题考查了切线的性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、二次函数的性质、二次函数的最值、平行线的判定、勾股定理等知识，综合性非常强，难度比较大，而根据t的范围利用二次函数的性质确定PQ的范围是解决第（3）小题的关键．