Question

如图，已知在等腰△ABC中，∠A=∠B=30°，过点C作CD⊥AC交AB于点D．
（1）尺规作图：过A，D，C三点作⊙O（只要求作出图形，保留痕迹，不要求写作法）；
（2）求证：BC是过A，D，C三点的圆的切线；
（3）若过A，D，C三点的圆的半径为，则线段BC上是否存在一点P，使得以P，D，B为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）解：作AD中点O
以点O为圆心，OA长为半径作圆．

（2）证明：∵CD⊥AC，
∴∠ACD=90°，
∴AD是⊙O的直径．
连接OC，
∵∠A=∠B=30°，
∴∠ACB=120°．
又∵OA=OC，
∴∠ACO=∠A=30°．
∴∠BCO=∠ACB-∠ACO=120°-30°=90°．
∴BC⊥OC．
∴BC是⊙O的切线．

（3）解：存在．
∵∠BCD=∠ACB-∠ACD=120°-90°=30°，
∴∠BCD=∠B．
即DB=DC．
又∵在Rt△ACD中，DC=AD•sin30°=，
∴BD=．
解法一：①过点D作DP₁∥OC，则△P₁DB∽△COB，．
∵BO=BD+OD=，
∴P₁D=×OC=×=．
②过点D作DP₂⊥AB，则△BDP₂∽△BCO，
∴．
∵BC=，
∴P₂D=×OC==1．
解法二：①当△BP₁D∽△BCO时，∠DP₁B=∠OCB=90°，
在Rt△BP₁D中，DP₁=BD•sin30°=．
②当△BDP₂∽△BCO时，∠P₂DB=∠OCB=90°，
在Rt△BP₂D中，DP₂=BD•tan30°=1．
分析：（1）因为CD⊥AC，所以以AD为直径作圆即为⊙O；
（2）BC过半径OC外端点C，要证BC是过A，D，C三点的圆的切线，只证OC⊥BC即可．
（3）通过证明△BDP∽△BCO，再利用相似比即可求得DP的长．
点评：此题考查相似三角形的判定，外接圆作法及切线的判定的综合运用．