Question

如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AC=3，DE=2，求AD的长．

Answer 1

（1）证明：连接OD，
∵AD为∠EAB的平分线，
∴∠EAD=∠BAD，
∵OA=OD，
∴∠BAD=∠ODA，
∴∠EAD=∠ODA，
∴OD∥AE，
∵AE⊥ED，
∴OD⊥DE，
则DE为圆O的切线；
（2）∵DE为圆的切线，AE为圆的割线，
∴DE²=EC•EA=EC•（EC+AC），
∵AC=3，DE=2，
∴4=EC（EC+3），即EC²+3EC-4=0，即（EC-1）（EC+4）=0，
解得：EC=1，
则AE=AC+CE=3+1=4，
在Rt△AED中，AE=4，DE=2，
根据勾股定理得：AD=2．
分析：（1）连接OD，由AD为角平分线得到一对角相等，再由OA=OD，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到OD与AE平行，由AE垂直于ED得到OD垂直于DE，即可得证；
（2）由ED为圆的切线，EA为圆的割线，利用切割线定理列出关系式，将AC与DE长代入求出EC的长，进而求出AE的长，在直角三角形AED中，利用勾股定理即可求出AD的长．
点评：此题考查了切线的判定，切割线定理，平行线的判定与性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．