Question

11．如图，平面直角坐标系中，A（4，2）、B（3，0），将△ABO绕OA中点C逆时针旋转90°得到△A′B′O′，连接OA′，则四边形OA′B′B的面积为6.5．

Answer 1

分析 过A'作O'B'的垂线交y轴于点N，由旋转性质得A'M=2，即可知A'N=MN-A'M=1、OA=2$\sqrt{5}$，根据C为OA中点得A'C=OC=$\sqrt{5}$，求得OA'=$\sqrt{10}$、ON=3，再求得B′M=$\sqrt{A′B{′}^{2}-A′{M}^{2}}$=1，根据S_{四边形OA′B′B}=S_矩形OBMN-S_△A′NO-S_△A′B′M即可求得答案．

解答 解：如图过A'作O'B'的垂线交y轴于点N，

∵点A到OB的距离是2，
∴点A'到O'B'的距离A'M=2，
故A'N=MN-A'M=OB-A'M=3-2=1，
由勾股定理得OA=2$\sqrt{5}$，
∴A'C=OC=$\sqrt{5}$，
由勾股定理OA'=$\sqrt{10}$，
在Rt△OA'N中，用勾股定理得ON=3，
∵A′B′=AB=$\sqrt{（3-4）^{2}+（0-2）^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴B′M=$\sqrt{A′B{′}^{2}-A′{M}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{5}）^{2}-{2}^{2}}$=1，
则S_{四边形OA′B′B}=S_矩形OBMN-S_△A′NO-S_△A′B′M
=3×3-$\frac{1}{2}$×1×3-$\frac{1}{2}$×1×2
=6.5，
故答案为：6.5．

点评 本题主要考查坐标与图形的变化-旋转，抓住旋转的三要素：旋转中心C，旋转方向逆时针，旋转角度90°，求得ON、A′M的长是解题的关键．