Question

已知：如图1，把矩形纸片ABCD折叠，使得顶点A与边DC上的动点P重合（P不与点D，C重合）， MN为折痕，点M，N分别在边BC， AD上，连接AP，MP，AM， AP与MN相交于点F，⊙O过点M，C，P。
（1）请你在图1中作出⊙O（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）与是否相等？请你说明理由；
（3）随着点P的运动，若⊙O与AM相切于点M时，⊙O又与AD相切于点H，设AB为4，请你通过计算，画出这时的图形。（图2，3供参考）

Answer 1

解：（1）如图； （2）与不相等， 假设，则由相似三角形的性质，得MN∥DC， ∵∠D=90°， ∴DC⊥AD， ∴MN⊥AD， ∵据题意得，A与P关于MN对称， ∴MN⊥AP， ∵据题意，P与D不重合， ∴这与“过一点（A）只能作一条直线与已知直线（MN）垂直”矛盾， ∴假设不成立， ∴不成立； （3）∵AM是⊙O的切线， ∴∠AMP=90°， ∴∠CMP+∠AMB=90°， ∵∠BAM+∠AMB=90°， ∴∠CMP=∠BAM， ∵MN垂直平分， ∴MA=MP， ∵∠B=∠C=90°， ∴△ABM≌△MCD， ∴MC=AB=4， 设PD=x，则CP=4-x， ∴BM=PC=4-x， 连结HO并延长交BC于J， ∵AD是⊙O的切线， ∴∠JHD=90°， ∴矩形HDCJ， ∴OJ∥CP， ∴△MOJ∽△MPC， ∴OJ∶CP=MO∶MP=1∶2， ∴OJ=（4-x），OH=MP=4-OJ=（4+x）， ∵MC2= MP2-CP2， ∴（4+x）2-（4-x）2=16， 解得：x=1．即PD=1，PC=3， ∴BC=BM+MC=PC+AB=3+4=7。 由此画图（图形大致能示意即可）。