Question

如图，正方形ABCD中，AB=6，点G是边BC的中点，连接AG．将△ABC沿AG对折至△AFG，延长GF交边CD于点E，连接AE、CF．下列结论：①△AFE≌△ADE；②EC=2DE；③S_△EFC=2；④∠BAG+∠AFC=180°．其中正确结论的个数是

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

C
分析：根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt△AFE≌Rt△ADE；在直角△ECG中，根据勾股定理求出DE的长，通过三角形面积得出S_△GFC：S_△FCE=3：2，
由平行线的判定可得AG∥CF；进而得出∠AFC+∠BAG=180°求出即可．
解答：①因为AB=AD=AF，∠D=∠AFE=90°，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，
∵，
∴Rt△AFE≌Rt△ADE，故此选项正确；
②因为：EF=DE，设DE=FE=x，则CG=3，EC=6-x．
在直角△ECG中，根据勾股定理，得：
（6-x）²+9=（x+3）²，
解得x=2．
则DE=2．
则EC=4，
故EC=2DE，故此选项正确；
③∵S_△GCE=GC•CE=×3×4=6，
∵GF=3，EF=2，△GFC和△FCE等高，
∴S_△GFC：S_△FCE=3：2，
∴S_△GFC=×6=≠2．
故此选项不正确．
④∵CG=BG，BG=GF，
∴CG=GF，
∴△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF，
又∵∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=180°-∠FGC=∠GFC+∠GCF，
∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，
∴AG∥CF，
∴∠GAF+∠AFC=180°，
∵∠BAG=∠GAF，
∴∠AFC+∠BAG=180°，故此选项正确；
故正确的有3个．
故选：C．
点评：本题考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算，有一定的难度．