Question

14．已知：如图，在△ABC中，点D．E分别在AB，AC上，DE∥BC，点F在边AB上，BC²=BF•BA，CF与DE相交于点G．
（1）求证：DF•AB=BC•DG；
（2）当点E为AC的中点时，求证：$\frac{2EG}{DG}=\frac{AF}{DF}$．

Answer 1

分析 （1）由BC²=BF•BA，∠ABC=∠CBF可判断△BAC∽△BCF，再由DE∥BC可判断△BCF∽△DGF，所以△DGF∽△BAC，然后利用相似三角形的性质即可得到结论；
（2）作AH∥BC交CF的延长线于H，如图，易得AH∥DE，由点E为AC的中点得AH=2EG，再利用AH∥DG可判定△AHF∽△DGF，则根据相似三角形的性质得$\frac{AH}{DG}$=$\frac{AF}{DF}$，然后利用等线段代换即可得到$\frac{2EG}{DG}=\frac{AF}{DF}$．

解答 证明：（1）∵BC²=BF•BA，
∴BC：BF=BA：BC，
而∠ABC=∠CBF，
∴△BAC∽△BCF，
∵DE∥BC，
∴△BCF∽△DGF，
∴△DGF∽△BAC，
∴DF：BC=DG：BA，
∴DF•AB=BC•DG；
（2）作AH∥BC交CF的延长线于H，如图，
∵DE∥BC，
∴AH∥DE，
∵点E为AC的中点，
∴AH=2EG，
∵AH∥DG，
∴△AHF∽△DGF，
∴$\frac{AH}{DG}$=$\frac{AF}{DF}$，
∴$\frac{2EG}{DG}=\frac{AF}{DF}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时，主要通过相似比得到线段之间的关系．