Question

6．如图，抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，若点P为线段BC上的任意一点（点P不与B、C重合），M为抛物线上一点，且PM∥y轴．
（1）求顶点D的坐标；
（2）若点P的坐标为（2，a）时，求△BCM的面积；
（3）若△BCM的面积为最大时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）直接利用配方法求出D点坐标即可；
（2）首先求出直线BC的解析式，再利用点P的坐标为（2，a），进而得出P点坐标以及M点坐标，得出MP的长，求出△BCM的面积；
（2）求出△BCM面积的表达式，得出是二次函数，求出其取最大值的条件即可．

解答 解：（1）y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
故D（1，4）；

（2）由抛物线的解析式y=-x²+2x+3，
∴C（0，3），
令y=0，-x²+2x+3=0，解得x=3或x=-1；
∴A（-1，0），B（3，0），
设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：
$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为：y=-x+3．
∵点P的坐标为（2，a），
∴a=1，
则P（2，1），
当x=2，则-x²+2x+3=-4+4=3=3，则M（2，3），
故PM=3-1=2，
故S_△BCM=S_△PMC+S_△PMB=$\frac{1}{2}$PM•（x_P-x_C）+$\frac{1}{2}$PM•（x_B-x_P）=$\frac{1}{2}$×2×（2+1）=3；

（3）设P（x，-x+3），则M（x，-x²+2x+3），
∴PM=（-x²+2x+3）-（-x+3）=-x²+3x．
∴S_△BCM=S_△PMC+S_△PMB=$\frac{1}{2}$PM•（x_P-x_C）+$\frac{1}{2}$PM•（x_B-x_P）=$\frac{1}{2}$PM•（x_B-x_C）=$\frac{3}{2}$PM．
∴S_△BCM=$\frac{3}{2}$（-x²+3x）=-$\frac{3}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$．
∴当x=$\frac{3}{2}$时，△BCM的面积最大．
此时P（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），

点评 此题主要考查了二次函数综合题以及三角形面积求法，解题过程中有若干解题技巧需要认真掌握：第（3）问中求△BCM面积表达式的方法．