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    （2012•浦东新区二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y=-x2+2x+c过点A（-1，0）；直线l：y=-
    34
    x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点M；抛物线的顶点为D．
    （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标．
    （2）过点A作AP⊥l于点P，P为垂足，求点P的坐标．
    （3）若N为直线l上一动点，过点N作x轴的垂线与抛物线交于点E．问：是否存在这样的点N，使得以点D、M、N、E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点N的横坐标；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）将点A的坐标代入抛物线解析式即可得出c的值，从而得出了函数解析式，化为顶点式可直接得出点D的坐标；
    （2）先求出OB、BC，然后根据△ABP∽△OBC，求出PB，再由Py=PBsin∠CBO，可得出点P的纵坐标，代入函数解析式可得出横坐标；
    （3）根据题意可得要使得以点D、M、N、E为顶点的四边形为平行四边形，只需NE=DM即可，从而得出方程，求解即可得出点N的坐标．
    解答：解：（1）将点（-1，0）代入y=-x2+2x+c，
    得0=-1-2+c，
    解得：c=3．
    故可得抛物线解析式为：y=-x2+2x+3，
    将抛物线的解析式化为顶点式为y=-（x-1）2+4，
    故顶点D的坐标为（1，4）；

    （2）由（1）y=-x2+2x+3，可得点B坐标为（4，0），
    设点P的坐标为（x，y），
    ∵OB=4，OC=3，
    ∴BC=5．
    又∵△ABP∽△CBO，
    ∴
    PB
    AB
    =
    OB
    BC
    ，
    故PB=
    OB
    BC
    ×AB=
    4
    5
    ×5=4，
    又∵Py=PBsin∠CBO，
    ∴Py=4×
    3
    5
    =
    12
    5
    ，
    代入y=-
    3
    4
    x+3可得：
    12
    5
    =-
    3
    4
    x+3，
    解得 x=
    4
    5
    ．
    所以点P坐标为（
    4
    5
    ，
    12
    5
    ）；

    （3）将x=1代入y=-
    3
    4
    x+3，得y=
    9
    4
    ，故点M的坐标为（1，
    9
    4
    ），
    即可得DM=D纵坐标-M纵坐标=4-
    9
    4
    =
    7
    4
    ，
    要使得以点D、M、N、E为顶点的四边形为平行四边形，只需NE=DM即可，
    即只要NE=
    7
    4
    即可，
    设点N坐标为（x，-
    3
    4
    x+3），点E坐标为（x，-x2+2x+3），
    ①由NE=E纵坐标-N纵坐标=（-x2+2x+3）-（-
    3
    4
    x+3）=
    7
    4
    ，得4x2-11x+7=0，
    解之得x=
    7
    4
    或x=1（此时点N和D、M共线，不合题意，舍去），
    ②由NE=N纵坐标-E纵坐标=（-
    3
    4
    x+3）-（-x2+2x+3）=
    7
    4
    ，得4x2-11x-7=0，
    解得：x=
    11±
    		233
    8
    ，
    综上所述，满足题意的点N的横坐标为x1=
    7
    4
    ，x2=
    11+
    		233
    8
    ，x3=
    11-
    		233
    8
    ．
    点评：此题考查了二次函数的综合题，涉及了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定及解方程的知识，解答此类大综合题关键是能够将所学的知识融会贯通．
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