Question

（1997•贵阳）已知：二次函数y=ax²+bx+c的图象过P（0，8），A（2，-6），B（3，-10）这三点． 
（1）求这个二次函数的解析式．
（2）设该二次函数图象与x轴交于M和N两点，请在x轴上方图象上找出点H，使面积S_△PMN=2S_△HMN．求H点的坐标．

Answer 1

分析：（1）将点P、A、B的坐标分别代入已知函数解析式，列出关于系数a、b、c的方程组，通过解方程组来求二次函数解析式；
（2）首先，根据抛物线解析式求得点P的坐标，即△PMN的高线长度为8；
然后，由三角形的面积公式、已知条件S_△PMN=2S_△HMN求得△HMN的高为4．故设图象上H点的坐标为（a，4）；
最后，由二次函数图象上点的坐标特征求得点H的坐标即可．

解答：解：（1）∵y=ax²+bx+c的图象过P（0，8），A（2，-6），B（3，-10）三点，
∴

8=c -6=4a+2b+c -10=9a+3b+c

，
解得

a=1 b=-9 c=8

．
∴该二次函数解析式为：y=x²-9x+8；

（2）∵由（1）知，该二次函数解析式是y=x²-9x+8，则该抛物线与y轴的交点P（0，8）．
∴△PMN的高线长度为8．
∵△HMN与△PMN的同底三角形，且S_△PMN=2S_△HMN．
∴△HMN的高为4．
设图象上H点的坐标为（a，4）．
则4=a²-9a+8，
解得，a₁=

9- 65

2

，a₂=

9+ 65

2

，
∴H点的坐标为：（

9- 65

2

，4）或（

9+ 65

2

，4）．
答：H点的坐标为（

9- 65

2

，4）或（

9+ 65

2

，4）．

点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和三角形的面积．熟练掌握二次函数图象与x轴，y轴交点的意义．