Question

设x₁，x₂是方程x²-2（m-1）x+m²-3=0的两个实数根．
（1）当m取何值时，x₁≠x₂；
（2）当x₁²+x₂²=4时，求m的值．

Answer 1

解：（1）∵方程x²-2（m-1）x+m²-3=0的两个实数根，
∴△=[2（m-1）]²-4（m²-3）≥0，
即m≤2，
∴当m＜2时，x₁≠x₂；
（2）x₁+x₂=2（m-1），x₁•x₂=m²-3，
∴（x₁+x₂）²=2x₁x₂+x₁²+x₂²
∵x₁•x₂=m²-3，x₁²+x₂²=4，
∴2（m²-3）+4=4（m-1）²，
∴m=3或1，
∵m＜2，
∴m=1．
分析：（1）利用一元二次方程判别式来判定即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系得到方程两根的和与两根的积，再根据（x₁+x₂）²=2x₁x₂+x₁²+x₂²，得到关于m的方程，解方程即可求出m的值．
点评：解答此题要知道一元二次方程根的情况与判别式△的关系和一元二次方程根与系数的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根；
（4）x₁+x₂=-；
（5）x₁•x₂=．