Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=10，点D是射线CB上的一个动点，△ADE是等边三角形，点F是AB的中点，联结EF．
（1）如图，当点D在线段CB上时，
①求证：△AEF≌△ADC；
②联结BE，设线段CD=x，线段BE=y，求y关于x的函数解析式及定义域；
（2）当∠DAB=15°时，求△ADE的面积．

Answer 1

（1）①证明：在Rt△ABC中，
∵∠B=30°，AB=10，
∴∠CAB=60°，AC=AB=5，
∵点F是AB的中点，
∴AF=AB=5，
∴AC=AF，
∵△ADE是等边三角形，
∴AD=AE，∠EAD=60°，
∵∠CAB=∠EAD，即∠CAD+∠DAB=∠FAE+∠DAB，
∴∠CAD=∠FAE，
在△AEF和△ADC中，
，
∴△AEF≌△ADC（SAS）；
②∵△AEF≌△ADC，
∴∠AEF=∠C=90°，EF=CD=x，
又∵点F是AB的中点，
∴AE=BE=y，
在Rt△AEF中，勾股定理可得：y²=25+x²，
∴函数的解析式是y=，定义域是0＜x≤5；
（2）①当点在线段CB上时，
由∠DAB=15°，可得∠CAD=45°，△ADC是等腰直角三角形，
∴AD²=50，
△ADE的面积为；
②当点在线段CB的延长线上时，
由∠DAB=15°，可得∠ADB=15°，BD=BA=10，
∴在Rt△ACD中，勾股定理可得AD2=200+100，
△ADE的面积为50+75，
综上所述，△ADE的面积为或50+75．
分析：（1）①在直角三角形ABC中，由30度所对的直角边等于斜边的一半求出AC的长，再由F为AB中点，得到AC=AF=5，确定出三角形ADE为等边三角形，利用等式的性质得到一对角相等，砸由AD=AE，利用SAS即可得证；
②由全等三角形对应角相等得到∠AEF为直角，EF=CD=x，在三角形AEF中，利用勾股定理即可列出y关于x的函数解析式及定义域；
（2）分两种情况考虑：①当点在线段CB上时；②当点在线段CB的延长线上时，分别求出三角形ADE面积即可．
点评：此题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，以及等边三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．