Question

点P是x轴正半轴的一个动点，过点P作x轴的垂线PA交双曲线y=

1

x

于点A，连接OA．
（1）如图甲，当点P在x轴的正方向上运动时，Rt△AOP的面积大小是否变化？若不变，请求出Rt△AOP的面积；若改变，试说明理由；
（2）如图乙，在x轴上的点P的右侧有一点D，过点D作x轴的垂线交双曲线于点B，连接BO交AP于点C，设△AOP的面积是S₁，梯形BCPD的面积为S₂，则S₁与S₂的大小关系是S1

S₂（选填“＞”、“＜”、“=”）；
（3）如图丙，AO的延长线与双曲线y=

1

x

的另一个交点为F，FH垂直于x轴，垂足为点H，连接AH，PF，试证明四边形APFH的面积为一个常数．

Answer 1

分析：（1）本题还可依据比例系数k的几何意义，得出两个三角形的面积都等于

1

2

|k|=

1

2

，因而当点P在x轴的正方向上运动时，Rt△AOP的面积大小不变；
（2）根据（1）可以得到△BDO的面积，因而S₁＞S₂．

解答：解：（1）Rt△AOP的面积不变，S_△AOP=xy=x×

1

x

×

1

2

=

1

2

；

（2）根据△AOP的面积等于S₁，△BOD的面积大于S₂，S₁＞S₂；

（3）设A的坐标是（a，b），根据反比例函数是中心对称图形，因而F点的坐标是（-a，-b），则AP=b，HP=2a，则四边形APFH的面积是2ab，据（a，b）在双曲线y=

1

x

的图象上，因而ab=1，则四边形APFH的面积是2ab=2．

点评：本题考查函数图象交点坐标的求法及反比例函数的比例系数k与其图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即S=

1

2

|k|．