Question

（2013•苏州一模）如图（1），已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE、BG．
（1）试猜想线段BG和AE的关系（位置关系及数量关系），请直接写出你得到的结论：
（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一角度a后（0°＜a＜90°），如图（2），通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由：
（3）若BC=DE=m，正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转角度a（0°＜a＜360°）过程中，当AE为最大值时，求AF的值．

Answer 1

分析：（1）首先利用等腰直角三角形的性质和正方形的性质得出DG=DE，AD=BD，进而得出△BDG≌△ADE，即可得出答案；
（2）延长EA分别交DG、BG于点N、M两点，首先证明△BDG≌△ADE，进而得出BG⊥AE且BG=AE；
（3）由（2）知，要使AE最大，只要将正方形绕点D逆时针旋旋转270°，即A，D，E在一条直线上时，AE最大，进而求出即可．

解答：解：（1）如图（1），
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点，
∴BD=CD=AD，
∵在△BDG和△ADE中

BD=AD ∠BDG=∠ADE DG=DE

，
∴△BDG≌△ADE（SAS），
∴BG=AE，∠DGB=∠DEA，
延长EA到BG于一点M，
∴∠GAM=∠DAE，
∴∠GMA=∠EDA=90°，
∴线段BG和AE相等且垂直；

（2）成立，
如图（2），延长EA分别交DG、BG于点N、M两点，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点，
∴∠ADB=90°，且BD=AD，
∵∠BDG=∠ADB-∠ADG=90°-∠ADG=∠ADE，
∵在△BDG和△ADE中

BD=AD ∠BDG=∠ADE DG=DE

，
∴△BDG≌△ADE（SAS），
∴BG=AE，∠DEA=∠DGB，
∵∠DEA+∠DNE=90°，∠DNE=∠MNG，
∴∠MNG+∠DGM=90°，
即BG⊥AE且BG=AE；

（3）由（2）知，要使AE最大，只要将正方形绕点D逆时针旋旋转270°，即A，D，E在一条直线上时，AE最大；
∵正方形DEFG在绕点D旋转的过程中，E点运动的图形是以点D为圆心，DE为半径的圆，
∴当正方形DEFG旋转到G点位于BC的延长线上（即正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转270°）时，BG最大，如图（3），
若BC=DE=m，则AD=

m

2

，EF=m，
在Rt△AEF中，AF²=AE²+EF²=（AD+DE）²+EF²=

13

4

m²，
∴AF=

13

2

m，即在正方形DEFG旋转过程中，当AE为最大值时，AF=

13

2

m．

点评：此题主要考查了正方形的性质以及旋转的性质和全等三角形的判定与性质等知识，结合图形得出全等图形是解题关键．