Question

如图，点A在x轴正半轴上，OA=2，∠AOB=30°，∠ABO=45°．
（1）画出△AOB绕点O逆时针旋转120°后的图形；
（2）写出旋转变换后点B的对应点B′的坐标；
（3）求旋转过程中线段OA、OB所扫过的重叠部分的面积．

Answer 1

解：（1）如图所示：

（2）过点B′作x轴的垂线，垂足为E，过点A作AD⊥OB于点D，
∵∠ABO=45°，
∴AD=BD，
∵∠AOB=30°，
∴AD=BD=OA=1，
设OD=x，
在Rt△OAD中，
OA²=OD²+AD²，即2²=x²+1²，
解得x=，
∴OB=OB′=1+，
∵∠EOB′=180°-∠B′OB-∠AOB=180°-120°-30°=30°，
∴B′E=OB′=，OE=，
∴B′（-，）；

（3）∵∠A′OF=120°-30°=90°，
OA′=OA=2，
∴S_扇形A′OF==π．
分析：（1）根据题意画出△AOB绕点O逆时针旋转120°后的图形即可；
（2）分别过点B、B′作x轴的垂线，垂足分别为D、E，由直角三角形的性质可知BD=OA，在Rt△OAD中利用勾股定理求出OD的长，由图形旋转的性质可知OB′=OB，∠EOB′=30°，进而可得出OE、B′E的长，求出点B′的坐标；
（3）根据题意画出图形，发现扇形A′OF即为线段OA、OB所扫过的重叠部分，计算其面积即可．
点评：本题考查了作图---旋转变换、扇形面积的计算、坐标与图形的变化---旋转，利用各特殊角及特殊三角形解答是解题的关键．