Question

6．如图，⊙O的直径AB为10，弦AC为6．
（1）利用尺规作∠ACB的平分线CD，交⊙O于点D，连接AD、BD（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图形中，求AD与BD的长；
（3）求△ACD的面积．

Answer 1

分析 （1）作DC平分∠ACB交⊙O于D；
（2）根据圆周角定理，由AB为直径得到∠ADB=90°，由∠DCA=∠DCB得$\widehat{DA}$=$\widehat{DB}$，则DA=DB，所以△ADB为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质计算DA和DB；
（3）作AH⊥CD于H，如图，先得到∠ACH=45°，根据等腰直角三角形的性质得HC=HA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=3$\sqrt{2}$，在Rt△ADH中，利用勾股定理计算出DH=4$\sqrt{2}$，则CD=CH+DH=7$\sqrt{2}$，然后根据三角形面积公式求解．

解答 解：（1）如图，CD、AD、BD为所作；

（2）∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠DCA=∠DCB，
∴$\widehat{DA}$=$\widehat{DB}$，
∴DA=DB，
∴△ADB为等腰直角三角形，
∴AD=BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×10=5$\sqrt{2}$；
（3）作AH⊥CD于H，如图，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACH=45°，
∴HC=HA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=3$\sqrt{2}$，
在Rt△ADH中，DH=$\sqrt{A{D}^{2}-A{H}^{2}}$=$\sqrt{（5\sqrt{2}）^{2}-（3\sqrt{2}）^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∴CD=CH+DH=7$\sqrt{2}$，
∴S_△ACD=$\frac{1}{2}$•AH•CD=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{2}$×7$\sqrt{2}$=21．

点评 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理和勾股定理．