Question

如图，△ABC与△EDC有一个公共点C，且AB=AC，EC=ED，∠BAC=∠CED，直线AE、BD交于F，若∠BAC=60°．
（1）求证：BD=AE；
（2）探求∠AFB的度数，并说明理由．

Answer 1

证明：（1）∵∠BAC=∠CED，∠BAC=60°，
∴∠BAC=∠CED=60°．
又∵AB=AC，EC=ED，
∴△ABC与△EDC是等边三角形．
∴AC=BC；CD=CE；∠ACB=∠DCE=60°．
∴∠BCD=∠ACE=∠ACD+60°．
∴△ACE≌△BCD．
∴BD=AE．

（2）∵△ACE≌△BCD，∴∠DBC=∠EAC，
又∵∠BGC=∠AGF（对顶角相等），
∴∠AFB=∠ACB=60°．
分析：（1）通过证明△ACE≌△BCD，即可说明BD=AE；题目现有的条件是AB=AC，∠BAC=60°，可说明△ABC是等边三角形，故AC=BC；同理可说明△BCD也是等边三角形，故DC=CE；∠ACE=∠ACD+60°=∠BCD；问题可证．
（2）即根据条件去求∠AFB的度数，∵∠AFB+∠CAE=∠ACB+∠DBC（三角形的外角等于和它不相邻的两内角的和），又∵∠ACB=60°，∠CAE=∠DBC；∴∠AFB=∠ACB，问题可求．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质；解题中利用了三角形的全等去证明线段相等，进而求角的度数，难度较大，好多条件需要耐心去寻找．