Question

如图，四边形ABCD是矩形，AP平分∠BAD，CD=CP，AP⊥CP．
（1）求证：AD=AP；
（2）若AB=5，AD=12，求△PBD的面积．

Answer 1

（1）证明：∵CD=CP，
∴∠CDP=∠CPD，
∵四边形ABCD是矩形，AP⊥CP，
∴∠ADC=∠APC=90°，
∴∠CDP+∠ADP=∠APD+∠CPD，
∴∠APD=∠ADP，
∴AD=AP；

（2）解：连接BD，过点P作PE∥BC交AB的延长线于E，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠BAD=∠ABC=90°，
∴∠E=90°，PE∥AD，
∴四边形ADPE是梯形，
∵AP平分∠BAD，
∴∠EAP=∠BAD=45°，
∴△AEP是等腰直角三角形，
∵AD=12，
∴AP=12，
∴AE=PE=6，
∴BE=AE-AB=6-5，
∴S_△PBD=S_梯形ADPE-S_△ABD-S_△PBE=×（6+12）×6-×5×12-×（6-5）×6=51-30．
分析：（1）由CD=CP，根据等边对等角，可得∠CDP=∠CPD，又由四边形ABCD是矩形，AP⊥CP，可证得∠APD=∠ADP，根据等角对等边，即可证得AD=AP；
（2）首先连接BD，过点P作PE∥BC交AB的延长线于E，由四边形ABCD是矩形，AP平分∠BAD，即可得△AEF是等腰直角三角形，即可求得PE与AE的长，然后由S_△PBD=S_梯形ADPE-S_△ABD-S_△PBE，求得答案．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及矩形的性质．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，掌握数形结合思想的应用．