Question

用12m长的一根铁丝围成长方形．
（1）如果长方形的面积为5m²，那么此时长方形的长是多少？宽是多少？如果面积是8m²呢？
（2）能否围成面积是10m²的长方形？为什么？
（3）能围成的长方形的最大面积是多少？

Answer 1

解：设长方形的宽为xm则长为m，即为（6﹣x）m，则6﹣x≥x，得0＜x≤3
（1）根据题意，得x（6﹣x）=5，即 x²﹣6x+5=0，x₁=1，x₂=5（舍去）．
∴当长方形的宽为1m，长为6﹣1=5 m时，面积为5m²．
同样，当面积为8 m²时，有x（6﹣x）=8，即 x²﹣6x+8=0，x₁=2，x₂=4（舍去）．
∴当长方形的宽为2m，长为6﹣2=4 m时，面积为8 m²．
（2）当面积为10 m²时，x（6﹣x）=10，即 x²﹣6x+10=0，此时b²﹣4ac=36﹣40=﹣4＜0，
故此方程无实数根．所以这样的长方形不存在．
（3）设围成的长方形面积为k，则有x（6﹣x）=k．即 x²﹣6x+k=0，
要使该方程有解，必须（﹣6）²﹣4k≥0，即k≤9
∴最大的k只能是9，即最大的面积为9 m²，
此时x=3m，6﹣x=3m，这时所围成的图形是正方形