Question

如图，已知正方形ABCD中，Q在CD上，且DQ=QC，P在BC上，且AP=CD+CP．
（1）若正方形边长为4，求AP的长；
（2）求证：∠DAQ=45°-∠BAP．

Answer 1

（1）解：∵正方形ABCD中，DQ=QC，P在BC上，且AP=CD+CP，
∴设PC=x，则BP=4-x，AP=4+x，
在Rt△ABP中，
∵AB ²+BP ²=AP ²，
∴4 ²+（4-x）²=（4+x）²，
解得：x=1，
则BP=3，
AP=4+1=5；

（2）证明：延长AQ交BC的延长线于M，
在△ADQ和△MCQ中，
∵，
∴△ADQ≌△MCQ（ASA），
∴AD=CM，∠DAM=∠AMP，
∵AP=CD+CP，
∴AP=PM，
∴∠PAM=∠AMP，
∴∠DAM=∠PAM，
∵∠DAP=90°-∠BAP，
∴2∠DAQ=90°-∠BAP，
∴∠DAQ=45°-∠BAP．
分析：（1）利用正方形性质以及DQ=QC，P在BC上，且AP=CD+CP，得出PC=x，则BP=4-x，AP=4+x，进而利用勾股定理求出即可；
（2）利用全等三角形的判定与性质首先得出△ADQ≌△MCQ，即可求出AD=CM，∠DAM=∠AMP，再利用等腰三角形的性质得出∠PAM=∠AMP，利用∠DAP=90°-∠BAP即可求出．
点评：此题主要考查了正方形的性质以及利用全等三角形的判定与性质和勾股定理等知识，利用已知正确作出辅助线延长AQ交BC的延长线于M是解题关键．