Question

如图，大海中有A和B两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线PQ上点E处测得∠AEP=70°，∠BEQ=30°；在点F处测得∠AFP=60°，∠BFQ=60°，EF=km．
（1）判断线段AB与AE的数量关系，并说明理由；
（2）求两个岛屿A和B之间的距离．（sin70°≈，cos70°≈）

Answer 1

解：（1）相等．
∵∠BEQ=30°，∠BFQ=60°，
∴∠EBF=∠BEQ=30°，
∴EF=BF，
又∵∠AFP=60°，
∴∠BFA=60°．
在△AEF与△ABF中，
∵，
∴△AEF≌△ABF（SAS），
∴AB=AE；

（2）过点A作AH⊥PQ，垂足为H．
设AE=xkm，
则AH=xsin70°km，HE=xcos70°km，
∴HF=HE+EF=xcos70°+4-5（km），
Rt△AHF中，AH=HF•tan60°，
∴xsin70°=（xcos70°+4-5）•tan60°，
即：x=（x+4-5）×，
解得：x≈13，
即AB=AE=13km．
答：两个岛屿A与B之间的距离约为13km．
分析：（1）根据SAS即可证明△AEF≌△ABF，得到AB=AE；
（2）作AH⊥PQ，垂足为H．设AE=x，在直角△AHF，直角△AEP中，利用三角函数表示出HE与HF，从而可得到关于x的方程，解方程即可得解．
点评：此题考查了方向角问题．注意能运用了三角函数，把求线段的问题转化为方程求解的问题是解此题的关键，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．