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    （本题12分） 如图，抛物线y=ax2＋bx＋c交x轴于点A（－3，0），点B（1，0），交y轴于点E（0，－3）。点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平行。直线y=－x＋m过点C，交y轴于D点.

    ⑴求抛物线的函数表达式；

       ⑵点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H，与抛物线交于     点G，求线段HG长度的最大值；

    ⑶在直线l上取点M，在抛物线上取点N，使以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标.

     

    解：（1）设抛物线的函数表达式为y=a（x-1）（x+3）

    ∵抛物线交y轴于点E（0，-3），将该点坐标代入上式，得a=1

    ∴所求函数表达式为y=（x-1）（x+3），

    即y=x2+2x-3；

    （2）∵点C是点A关于点B的对称点，点A坐标（-3，0），点B坐标（1，0），

    ∴点C坐标（5，0），

    ∴将点C坐标代入y=-x+m，得m=5，

    ∴直线CD的函数表达式为y=-x+5，

    设K点的坐标为（t，0），则H点的坐标为（t，-t+5），G点的坐标为（t，t2+2t-3），

    ∵点K为线段AB上一动点，

    ∴-3≤t≤1，

    ∴HG=（-t+5）-（t2+2t-3）=-t2-3t+8=-（t+ ）2+ ，

    ∵-3＜- ＜1，

    ∴当t=- 时，线段HG的长度有最大值 ；

    （3）∵点F是线段BC的重点，点B（1，0），点C（5，0），

    ∴点F的坐标为（3，0），

    ∵直线l过点F且与y轴平行，

    ∴直线l的函数表达式为x=3，

    ∵点M在直线l上，点N在抛物线上，

    ∴设点M的坐标为（3，m），点N的坐标为（n，n2+2n-3），

    ∵点A（-3，0），点C（5，0），

    ∴AC=8，

    分情况讨论：

    ①若线段AC是以点A、C，M、N为顶点的平行四边形的边，则需MN∥AC，且MN=AC=8．

    当点N在点M的左侧时，MN=3-n，

    ∴3-n=8，解得n=-5，

    ∴N点的坐标为（-5，12），

    当点N在点M的右侧时，MN=n-3，

    ∴n-3=8，

    解得n=11，

    ∴N点的坐标为（11，140），

    ②若线段AC是以点A、C，M、N为顶点的平行四边形的对角线，由“点C与点A关于点B中心对称”知：点M与点N关于点B中心对称，取点F关于点B的对称点P，则P点坐标为（-1，0）

    过P点作NP⊥x轴，交抛物线于点N，

    将x=-1代入y=x2+2x-3，得y=-4，

    过点N，B作直线NB交直线l于点M，

    在△BPN和△BFM中，

    ∠NBP=∠MBF，

    BF=BP，

    ∠BPN=∠BFM=90°，

    ∴△BPN≌△BFM，

    ∴NB=MB，

    ∴四边形ANCM为平行四边形，

    ∴坐标（-1，-4）的点N符合条件，

    ∴当N的坐标为（-5，12），（11，140），（-1，-4）时，以点A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形．

    解析:略

     

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    （1）求直线BC的解析式。

    （2）当为何值时，？

    （3）在（2）问条件下，⊙E与直线PF是否相切；如果相切，加以证明，并求出切点的坐标。如果不相切，说明理由。

     

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    （2）当＝150°时，试判断△AOD 的形状，并说明理由；

    （3）探究：当为多少度时，△AOD是等腰三角形。

     

     

     

     

     

     

     

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