Question

如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），设抛物线的顶点为D．

（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标．

（2）试判断△BCD的形状，并说明理由．

（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

　

Answer 1

       解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c

由抛物线与y轴交于点C（0，3），可知c=3．即抛物线的解析式为y=ax²+bx+3．

把点A（1，0）、点B（﹣3，0）代入，得解得a=﹣1，b=﹣2

∴抛物线的解析式为y=﹣x²﹣2x+3．

∵y=﹣x²﹣2x+3=﹣（x+1）²+4

∴顶点D的坐标为（﹣1，4）；

（2）△BCD是直角三角形．

理由如下：解法一：过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F．

∵在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，

∴BC²=OB²+OC²=18

在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF﹣OC=4﹣3=1，

∴CD²=DF²+CF²=2

在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB﹣OE=3﹣1=2，

∴BD²=DE²+BE²=20

∴BC²+CD²=BD²

∴△BCD为直角三角形．

解法二：过点D作DF⊥y轴于点F．

在Rt△BOC中，∵OB=3，OC=3

∴OB=OC∴∠OCB=45°

∵在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF﹣OC=4﹣3=1

∴DF=CF

∴∠DCF=45°

∴∠BCD=180°﹣∠DCF﹣∠OCB=90°

∴△BCD为直角三角形．

（3）①△BCD的三边，==，又=，故当P是原点O时，△ACP∽△DBC；

②当AC是直角边时，若AC与CD是对应边，设P的坐标是（0，a），则PC=3﹣a，=，即=，解得：a=﹣9，则P的坐标是（0，﹣9），三角形ACP不是直角三角形，则△ACP∽△CBD不成立；

③当AC是直角边，若AC与BC是对应边时，设P的坐标是（0，b），则PC=3﹣b，则=，即=，解得：b=﹣，故P是（0，﹣）时，则△ACP∽△CBD一定成立；

④当P在x轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是（d，0）．

则AP=1﹣d，当AC与CD是对应边时，=，即=，解得：d=1﹣3，此时，两个三角形不相似；

⑤当P在x轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是（e，0）．

则AP=1﹣e，当AC与DC是对应边时，=，即=，解得：e=﹣9，符合条件．

总之，符合条件的点P的坐标为：．