Question

阅读下列材料，然后解答后面的问题．
我们知道方程2x+3y=12有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出其正整数解．
例：由2x+3y=12，得，（x、y为正整数）
∴，解得0＜x＜6．
又为正整数，则为正整数．
由2与3互质，可知：x为3的倍数，从而x=3，代入．
∴2x+3y=12的正整数解为
问题：
（1）请你写出方程2x+y=5的一组正整数解：　　；
（2）若为自然数，则满足条件的x值有　　个；

A．2

B．3

C．4

D．5

（3）七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为3元的笔记本与单价为5元的钢笔两种奖品，共花费35元，问有几种购买方案？

Answer 1

（1）或；（2）C；（3）两种

试题分析：根据题意可知，求方程的正整数解，先把方程做适当的变形，再列举正整数代入求解．
（1） 由2x+y=5，得y=5-2x（x、y为正整数）
所以，解得
∴当x=1时，y=3；
当x=2时，y=1．
即方程的正整数解是或；
（2）同样为自然数，则有：0＜x-2≤6，即2＜x≤8
当x=3时，
当x=4时，
当x=5时，
当x=8时，
即满足条件x的值有4个，
故选C；
（3）设购买单价为3元的笔记本m本，单价为5元的钢笔n支．
则根据题意得：3m+5n=35，其中m、n均为自然数，则


所以
由于为正整数，则为正整数，可知m为5的倍数．
∴当m=5时，n=4；
当m=10时，n=1．
答：有两种购买方案：即购买单价为3元的笔记本5本，单价为5元的钢笔4支；
或购买单价为3元的笔记本10本，单价为5元的钢笔1支．
点评：解题关键是要读懂题目给出的已知条件，根据条件求解．注意笔记本和钢笔是整体，所有不可能出现小数和负数，这也就说要求的是正整数．