Question

如图，正方形ABCD，点E在CD上，点F在AD上，BG⊥EF于G，且BG=AD，连BF、BE，
①求∠EBF度数；
②延长AG交BE的延长线于H点，求

AG

DH

的值；
③若

CE

DE

=

1

2

，且正方形边长为3

10

，则BH=

9

2

．

Answer 1

分析：（1）由正方形的性质和已知条件可得到∠EBF=

1

2

∠ABC，又因为∠ABC是正方形的一个内角，所以∠ABC=90°，进而求出∠EBF度数；
（2）设BF交AG于点Q，通过证明△ABQ∽△DBH，由相似三角形的性质即可得到

AQ

DH

=

AB

BD

=

2

2

，进而得到

AG

DH

=

2

；
（3）设BE交CG于点M，由已知条件和勾股定理可求出BE，由射影定理可求出BM的长，由△ABQ∽△DBH，得BH=

2

BQ=

2

BM=9

2

．

解答：解：（1）∵正方形ABCD，点E在CD上，点F在AD上，BG⊥EF于G，且BG=AD，
∴BG=BC=AD=BA，∠BAF=∠BGF=∠BCE=90°
∴BF平分∠AFG，BE平分∠GEC，
∴BF平分∠ABG，BE平分∠GBC．
∴∠ABF=∠FBG，∠GBE=∠EBC，
∴∠EBF=

1

2

∠ABC=45°；
                            
（2）设BF交AG于点Q，连接BD，DH，
∵∠ABD=45°，
∴∠ABF+∠FBD=45°，
∵∠EBF=45°，
∴∠DBH+∠FBD=45°，
∴∠ABF=∠DBH，
∵∠AQB=∠DHB=90°，
∴△ABQ∽△DBH，
∴

AQ

DH

=

AB

BD

=

2

2

                           
∴

AG

DH

=

2

；
                      
（3）设BE交CG于点M，
∵

CE

DE

=

1

2

，DC=3

10

，
∴CE=

10

，DE=2

10

，
∴BE=

CE2+BC2

=10，
∵BC²=BM•BE，
∴90=BM×10，
∴BM=9，
由△ABQ∽△DBH，
得BH=

2

BQ=

2

BM=9

2

．     
故答案为：9

2

．

点评：此题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、角平分线的性质、垂直平分线的性质，题目的综合性很强，难度不小．