Question

如图：在?ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点O的直线EF分别与AD、BC交于点E、F，EF⊥AC，连结AF、CE．
（1）求证：OE=OF；
（2）请判断四边形AECF是什么特殊四边形，请证明你的结论；
（3）若∠EAF=60°，AE=6，求四边形AECF的面积．

Answer 1

考点：菱形的性质,全等三角形的判定与性质,菱形的判定与性质

专题：

分析：（1）由在?ABCD中，对角线AC与BD交于点O，易证得△OAE≌△OCF，即可得AE=CF，继而证得四边形AECF是平行四边形，则可得OE=OF；
（2）由四边形AECF是平行四边形与EF⊥AC，即可证得四边形AECF是菱形；
（3）由∠EAF=60°，AE=6，根据菱形的性质，即可求得AC与EF的长，继而求得答案．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA=OC，
∴∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC，
在△OAE和△OFC中，

∠OAE=∠OCF ∠OEA=∠OFC OA=OC

，
∴△OAE≌△OCF（AAS），
∴AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴OE=OF；

（2）四边形AECF是菱形．
证明：∵四边形AECF是平行四边形，EF⊥AC，
∴?AECF是菱形．

（3）解：∵四边形AECF是菱形，∠EAF=60°，
∴∠EAO=

1

2

∠EAF=30°，
∴OE=

1

2

AE=

1

2

×6=3，
∴OA=

AE2-OE2

=3

3

，
∴AC=2OA=6

3

，EF=2OE=6，
∴S_{四边形AECF}=

1

2

AC•EF=

1

2

×6×6

3

=18

3

．

点评：此题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．