Question

已知（如图） AD是△ABC的角平分线，过D作DE∥AC，DF∥AB．
（1）求证：四边形AEDF是菱形；
（2）若∠BAC=90°，则四边形AEDF是什么图形？请你给出证明过程．

Answer 1

分析：（1）首先根据已知条件判定四边形AEDF是平行四边形；然后由平行四边形的性质、角平分线的性质以及等腰三角形的判定推知AE=ED；
（2）若∠BAC=90°，则四边形AEDF是正方形．

解答：（1）证明：∵DE∥AF，DF∥AE，
∴四边形AEDF是平行四边形．
∵∠DAE=∠DAF，∠DAF=∠EDA，
∴∠DAE=∠EDA，
∴AE=ED，
∴四边形AEDF是菱形；

（2）解：若∠BAC=90°，则四边形AEDF是正方形．理由如下：
由（1）知，四边形AEDF是菱形，
∴AE=ED=DF=FA，
∴菱形AEDF是正方形．

点评：本题考查了菱形的判定与性质，正方形的判定．有一内角为直角的菱形是正方形．