Question

19．已知|a-1|-|a-2|的最大值为x，|b+2|+|b-2|的最小值为y，|c-2|+|c+1|+|c|的最小值为z，求：
（1）x+2y+3z的值；
（2）a+2b-3c的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据绝对值的性质求得x=1，y=4，z=3，再代入计算可得x+2y+3z的值；
（2）根据绝对值的性质求得a，b的最小值分别为：2，-2，c=0，再代入计算可得a+2b-3c的最小值．

解答 解：（1）∵|a-1|-|a-2|的最大值为x，
a-1与a-2是相邻的两个点，
∴|a-1|-|a-2|的最大值为1，
∴x=1，
∵|b+2|+|b-2|的最小值为y，
b+2与b-2是相距4个单位的点，
∴|b+2|+|b-2|的最小值为4，
∴y=4，
∵|c-2|+|c+1|+|c|的最小值为z，
c-2与c+1与c是相距3个单位的3个点，
∴|c-2|+|c+1|+|c|的最小值为3，
∴z=3，
则x+2y+3z的值=1+8+9=18；
（2）由题意得：
当a最小为2时，|a-1|-|a-2|的最大值为1，
当b最小为-2时，|b+2|+|b-2|的最小值为4，
当c=0时，|c-2|+|c+1|+|c|的最小值为3，
则a+2b-3c的最小值=2-4-0=-2．

点评 此题考查了绝对值的最值问题．此题难度适中，解此题的关键是得到x=1，y=4，z=3．