Question

已知抛物线有不同的两点E（k+3，-k²+1）和F（-k-1，-k²+1）。

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，抛物线与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B，M为AB的中点，∠PMQ在AB的同侧以M为中心旋转，且∠PMQ=45°，MP交y轴于点C，MQ交x轴于点D，设AD的长为m（m＞0），BC的长为n，求n和m之间的函数关系式；
（3）当m，n为何值时，∠PMQ的边过点F？

Answer 1

解：（1）抛物线的对称轴为
∵抛物线上不同两个点E和F的纵坐标相同
∴点E和点F关于抛物线对称轴对称，则，且k≠-2
∴抛物线的解析式为。
（2）抛物线与x轴的交点为A（4，0），与y轴的交点为B（0，4）
∴AB=，AM=BM=
在∠PMQ绕点M在AB同侧旋转过程中，∠MBC=∠DAM=∠PMQ=45°，
在△BCM中，∠BMC+∠BCM+∠MBC=180°，即∠BMC+∠BCM=135°
在直线AB上，∠BMC+∠PMQ+∠AMD=180°，即∠BMC+∠AMD=135°
∴∠BCM=∠AMD
故△BCM∽△AMD
∴，即，
故n和m之间的函数关系式为（m＞0）。
（3）∵F在上
∴
化简得，
∴k₁=1，k₂=3
即F₁（-2，0）或F₂（-4，-8）
①MF过M（2，2）和F₁（-2，0），设MF为
则，解得
∴直线MF的解析式为
直线MF与x轴交点为（-2，0），与y轴交点为（0，1）
若MP过点F（-2，0），则n=4-1=3，m=
若MQ过点F（-2，0），则m=4-（-2）=6，n=
②MF过M（2，2）和F₁（-4，-8），设MF为
则，解得
∴直线MF的解析式为
直线MF与x轴交点为（，0），与y轴交点为（0，）
若MP过点F（-4，-8），则n=4-（）=，m=
若MQ过点F（-4，-8），则m=4-=，n=
故当，，或时，∠PMQ的边过点F。