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    12．已知，如图①，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点P为线段BC上的一动点（不运动到C，B两点）过点P作PQ⊥BC交AB于点Q，在AC边上取一点D，使QD=QP，连结DP，设CP=x
    （1）求QP的长，用含x的代数式表示．
    （2）当x为何值时，△DPQ为直角三角形？
    （3）记点D关于直线PQ的对称点为点D′．
    ①当点D′落在AB边上时，求x的值；
    ②在①的条件下，如图②，将此时的△DPQ绕点P顺时针旋转一个角度α（0°＜α＜∠DPB），在旋转过程中，设DP所在的直线与直线AB交于点M，与直线AC交于点N，是否存在这样的M，N两点，使△AMN为等腰三角形？若存在，求出此时AN的长；若不存在，请说明理由．

    分析 （1）由PQ∥AC，得$\frac{PQ}{AC}$=$\frac{PB}{BC}$，列出方程即可解决问题．
    （2）因为△DPQ为直角三角形，由题意只有∠DQP=90°，如图2中，首先证明四边形PCDQ是正方形，由PQ∥AC，得$\frac{PQ}{AC}$=$\frac{PB}{BC}$，列出方程即可解决问题．
    （3）①当点D′落在AB边上时，如图3中，设PQ与DD′交于点H．作D$′\\;M⊥BC$于M．由△QHD′∽△ACB，得$\frac{QD′}{AB}$=$\frac{QH}{AC}$，由D′M∥AC，得到$\frac{D′M}{AC}$=$\frac{BM}{BC}$，求出D′M，列出方程即可解决问题．
    ②由题意只有旋转到如图位置时，△AMN是等腰三角形，此时AN=AM．首先证明PA平分∠BAC，再根据△ACP∽△APN，得$\frac{AC}{AP}$=$\frac{AP}{AN}$，列出方程即可解决问题．

    解答 解：（1）如图1中，

    ∵PQ⊥BC，
    ∴∠QPB=∠C=90°，
    ∴PQ∥AC，
    ∴$\frac{PQ}{AC}$=$\frac{PB}{BC}$，
    ∴$\frac{PQ}{3}$=$\frac{4-x}{4}$，
    ∴PQ=$\frac{3}{4}$（4-x）．

    （2）因为△DPQ为直角三角形，由题意只有∠DQP=90°，如图2中，

    ∵∠DQP=∠C=∠QPC=90°，
    ∴四边形PCDQ是矩形，
    ∵DQ=PQ，
    ∴四边形PCDQ是正方形，
    ∵∴PQ∥AC，
    ∴$\frac{PQ}{AC}$=$\frac{PB}{BC}$，
    ∴$\frac{x}{3}$=$\frac{4-x}{4}$，
    ∴x=$\frac{12}{7}$，
    ∴当x=$\frac{12}{7}$时，△PDQ是直角三角形．

    （3）①当点D′落在AB边上时，如图3中，设PQ与DD′交于点H．作D$′\\;M⊥BC$于M．

    ∵∠QHD′=∠C=90°，∠HD′Q=∠B，
    ∴△QHD′∽△ACB，
    ∴$\frac{QD′}{AB}$=$\frac{QH}{AC}$，
    ∵D′M∥AC，
    ∴$\frac{D′M}{AC}$=$\frac{BM}{BC}$，
    ∴$\frac{D′M}{3}$=$\frac{4-2x}{4}$，
    ∴D′M=3-$\frac{3}{2}$x，
    ∴QH=PQ-PH=3-$\frac{3}{4}x$-3+$\frac{3}{2}$x=$\frac{3}{4}$x，
    ∴$\frac{3-\frac{3}{4}x}{5}$=$\frac{\frac{3}{4}x}{3}$，
    ∴x=$\frac{3}{2}$．
    ∴x=$\frac{3}{2}$时，点D′落在AB边上．

    ②由题意只有旋转到如图位置时，△AMN是等腰三角形，此时AN=AM．

    作PH⊥AB于H，
    ∵PC=$\frac{3}{2}$，
    ∴PB=BC-PC=4-$\frac{3}{2}$=$\frac{5}{2}$，
    ∵sin∠ABC=$\frac{PH}{PB}$=$\frac{AC}{AB}$，
    ∴$\frac{PH}{\frac{5}{2}}$=$\frac{3}{5}$，
    ∴PH=$\frac{3}{2}$，
    ∴PC=PH，∵PC⊥AC，PH⊥AB，
    ∴PA平分∠BAC，
    ∵AN=AM，
    ∴AP⊥MN，
    ∵∠PAC=∠PAN，∠ACP=∠APN，
    ∴△ACP∽△APN，
    ∴$\frac{AC}{AP}$=$\frac{AP}{AN}$，
    ∴$\frac{3}{\sqrt{{3}^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{{3}^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}}{AN}$，
    ∴AN=$\frac{15}{4}$．

    点评 本题考查几何变换综合题、相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用相似三角形解决问题，学会把问题转化为方程去思考，属于中考压轴题．

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