Question

如图，在直角坐标系中，O为原点，抛物线y=x²+bx+3与x轴的负半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，tan∠ABO=，顶点为P．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线向上或向下平移|k|个单位长度后经过点C（-5，6），试求k的值及平移后抛物线的最小值；
（3）设平移后的抛物线与y轴相交于D，顶点为Q，点M是平移的抛物线上的一个动点．请探究：当点M在何位置时，△MBD的面积是△MPQ面积的2倍求出此时点M的坐标．友情提示：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴是，顶点坐标是．

Answer 1

解：（1）令x=0，则y=3．
∴B点坐标为（0，3），OB=3．
∵tan∠OAB=，
∴AO=1．
∴A点坐标为（-1，0）．
∴0=（-1）²+b（-1）+3．
求得b=4．
∴所求的抛物线解析式为y=x²+4x+3．

（2）设平移后抛物线的解析式为y=x²+4x+3+k．
∵它经过点（-5，6），
∴6=（-5）²+4（-5）+3+k．
∴k=-2．
∴平移后抛物线的解析式为y=x²+4x+3-2=x²+4x+1．
配方，得y=（x+2）²-3．
∵a=1＞0，
∴平移后的抛物线的最小值是-3．

（3）由（2）可知，BD=PQ=2，对称轴为x=-2．
又S_△MBD=2S_△MPQ，
∴BD边上的高是PQ边上的高的2倍．
设M点坐标为（m，n）．
①当M点的对称轴的左侧时，则有0-m=2（-2-m）．
∴m=-4．
∴n=（-4）²+4（-4）+1=1．
∴M（-4，1）．
②当M点在对称轴与y轴之间时，则有0-m=2[m-（-2）]．
∴m=-．
∴n=（-）²+4（-）+1=-．
∴M（-，-）．
③当M点在y轴的右侧时，则有m=2[（m-（-2）]．
∴m=-4＜0，不合题意，应舍去．
综合上述，得所求的M点的坐标是（-4，1）或（-，-）．
分析：（1）根据抛物线的解析式即可得出B点的坐标为（0，3），即OB=3，在直角三角形OAB中，根据OB的长和∠ABO的正切值即可求出OA的长，也就能得知A点的坐标，然后根据A点的坐标即可求出抛物线的解析式．
（2）可用k表示出平移后抛物线的解析式，已知了平移后的抛物线过点C（-5，6），那么可将C点的坐标代入其中，即可求出k的值．进而可根据得出的二次函数求出其最小值．
（3）本题要先求出BD和PQ的长，根据（2）可得出BD=PQ=2，因此要使△MBD的面积是△MPQ面积的2倍，只需让M到y轴的距离等于M到抛物线对称轴（即PQ）的距离的2倍即可．因此本题可分三种情况进行讨论：
①M在抛物线对称轴和y轴的左侧时；②M在抛物线对称轴和y轴之间；③M在y轴和抛物线对称轴右侧时．
根据上述三种情况可得出三个不同的M点的横坐标，将其代入抛物线的解析式中即可得出M点的坐标．
点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、三角形面积的计算方法等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．