Question

已知：关于x的一元二次方程x²-2（m+1）x+2m+1=0
（1）求证：方程有两个实数根；
（2）设m＜0，且方程的两个实数根分别为x₁，x₂（其中x₁＜x₂），若y是关于m的函数，且y=，求这个函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，利用函数图象求关于m的方程y+m-2=0的解．

Answer 1

（1）证明：∵关于x的一元二次方程x²-2（m+1）x+2m+1=0的二次项系数a=1，一次项系数是b=-2（m+1），常数项c=2m+1，
∴△=b²-4ac=4（m+1）²-8m-4=4m²≥0，
∴方程x²-2（m+1）x+2m+1=0有两个实数根；

（2）∵原方程的根是：x==m+1±m，
又∵m＜0，方程的两个实数根分别为x₁，x₂（其中x₁＜x₂），
x₁=2m+1，x₂=1，
∴y===-，
即y=-；

（3）∵y=-；
∴由y+m-2=0，得
-+m-2=0，即m²-2m-3=0，
∴（m-3）（m+1）=0，
∴m-3=0或m+1=0，
∴m=3（舍去），或m=-1．
故方程的解是m=-1．
分析：（1）根据二次函数的根的判别式△=b²-4ac的符号来判断方程的根的情况；
（2）由（1）知原方程有两个实数根，所以根据求根公式和已知条件“m＜0，x₁＜x₂^”求得x₁、x₂的值，并将其代入y=，求得这个函数的解析式；
（3）把（2）的条件下是y值代入y+m-2=0求解即可．
点评：本题考查了根与系数的关系、根的判别式．在解（3）中的关于m的一元二次方程时，采用了分解因式法．