Question

如图，已知⊙O的直径AB垂直于点E，连接CO并延长交BD于点F，若CF⊥BD，AB=8，
（1）求证：BD=CD；
（2）求弦CD的长；
（3）求图中由线段CD、BD和弧BC所围成的阴影部分图形的面积．

Answer 1

解：（1）证明：∵直径AB⊥CD，OF⊥BD，
∴CD=2CE，BD=2BF，且∠CEO=∠BFO=90°，
在△OEC与△OFB中，
，
∴△OEC≌△OFB（AAS），
∴CE=BF，
∴BD=CD；

（2）在Rt△CFD中，DF=BD=CD，
∴∠C=30°，
∴CE=OC•cos30°=4×=2，
∴CD=2CE=2×2=4；

（3）如图，连接BC，
∵∠OCE=30°，CF⊥BD，
∴∠D=60°，∠BOC=120°，
又∵CD=BD，
∴△BCD是等边三角形，
∴S_阴影=S_△BCD+S_扇形OBC-S_△OBC，
=×（4）²•sin60°+×π•4²-OB•CE
=×48×+π-×4×2
=12+π-4
=8+π．
分析：（1）先根据垂径定理可得CD=2CE，BD=2BF，然后利用角角边证明△OEC与△OFB全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=BF，从而得解；
（2）根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得∠C=30°，然后利用余弦定义求出CE的长度，再根据垂径定理即可的解；
（3）连接BC，根据（2）中结论可证△BCD是等边三角形，则阴影部分的面积=等边三角形BCD的面积+扇形OBC的面积-△OBC的面积，然后列式进行计算即可求解．
点评：本题考查了垂径定理，全等三角形的判定与性质，以及扇形的面积公式，30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，难度不大，（1）中证明三角形全等是解题的关键．