Question

2．已知抛物线y=ax²+bx+c经过A（-1，0），B（3，0），C（0，3）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在直线BC上方的抛物线上是否存在一点M，使S_△BCM最大，求出M的坐标；
（3）过抛物线的顶点D作过A，B，C三点的圆的切线，求此抛物线与x轴的交点的坐标．

Answer 1

分析 （1）设交点式y=a（x+1）（x-3），然后把C点坐标代入求出a即可；
（2）过M点作MN∥y轴交BC于N，如图1，利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=-x+3，设M（t，-t²+2t+3）（0＜t＜3），则N（t，-t+3），则可表示出MN=-t²+3t，利用三角形面积公式得到S_△BMC=$\frac{1}{2}$MN•3=$\frac{3}{2}$（-t²+3t）=-$\frac{3}{2}$t²+$\frac{9}{2}$，然后根据二次函数的性质求解；
（3）先把（1）中解析式配成顶点式得到D（1，0），抛物线的对称轴为直线x=1，如图2，设直线x=1与x轴交于点G，则G（1，0），利用三角形外心的性质可确定△ABC的外接圆的圆心P的坐标为（1，1），则可计算出半径PB=$\sqrt{5}$，设切线DE、DF交x轴于E、F，如图2，作PH⊥DE于H，根据切线的性质得PH=PB=$\sqrt{5}$，然后证明Rt△DPH∽Rt△DEG，利用相似比求出GE，则可得到E点坐标，再利用点F与点E关于直线x=1对称确定F点坐标．

解答 解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），
把C（0，3）代入得a•1•（-3）=3，解得a=-1，
所以抛物线解析式为y=-（x+1）（x-3），即y=-x²+2x+3；
（2）存在．
过M点作MN∥y轴交BC于N，如图1，
设直线BC的解析式为y=kx+b，把C（0，3），B（3，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
所以直线BC的解析式为y=-x+3，
设M（t，-t²+2t+3）（0＜t＜3），则N（t，-t+3），
所以MN=-t²+2t+3-（-t+3）=-t²+3t，
所以S_△BMC=S_△MNB+S_△MNC=$\frac{1}{2}$MN•3=$\frac{3}{2}$（-t²+3t）=-$\frac{3}{2}$t²+$\frac{9}{2}$，
因为S_△BMC=-$\frac{3}{2}$（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
所以当t=$\frac{3}{2}$时，S_△BMC取最大值$\frac{27}{8}$，此时M点的坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）；
（3）y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，则D（1，0），抛物线的对称轴为直线x=1，如图2，
设直线x=1与x轴交于点G，则G（1，0），
△ABC的外接圆的圆心在直线x=1上，
因为△OBC为等边三角形，所以BC的垂直平分线为直线y=x，
当x=1时，y=1，则P点坐标为（1，1），PB=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
切线DE、DF交x轴于E、F，如图2，作PH⊥DE于H，则PH=PB=$\sqrt{5}$，
在Rt△DPH中，PD=DG-PG=4-1=3，DH=$\sqrt{{3}^{2}-（\sqrt{5}）^{2}}$=2，
因为∠PDH=∠EDG，
所以Rt△DPH∽Rt△DEG，
所以PH：GE=DH：DG，即$\sqrt{5}$：GE=2：4，解得GE=2$\sqrt{5}$，
所以E点坐标为（1+2$\sqrt{5}$，0），
因为点F与点E关于直线x=1对称，
所以F点坐标为（1-2$\sqrt{5}$，0），
即过点D的切线与x轴的交点坐标为（1-2$\sqrt{5}$）或（1+2$\sqrt{5}$，0）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和三角形外接圆的定义与切线的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，会利用勾股定理和相似比求线段的长．