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    在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c（b，c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，-1），C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限．
    （1）如图，若该抛物线过A，B两点，求该抛物线的函数表达式；
    （2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q．
    （i）若点M在直线AC下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标；
    （ii）取BC的中点N，连接NP，BQ．试探究是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．

    【答案】分析：（1）先求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的函数表达式；
    （2）i）首先求出直线AC的解析式和线段PQ的长度，作为后续计算的基础．
    若△MPQ为等腰直角三角形，则可分为以下两种情况：
    ①当PQ为直角边时：点M到PQ的距离为．此时，将直线AC向右平移4个单位后所得直线（y=x-5）与抛物线的交点，即为所求之M点；
    ②当PQ为斜边时：点M到PQ的距离为．此时，将直线AC向右平移2个单位后所得直线（y=x-3）与抛物线的交点，即为所求之M点．
    ii）由（i）可知，PQ=为定值，因此当NP+BQ取最小值时，有最大值．
    如答图2所示，作点B关于直线AC的对称点B′，由分析可知，当B′、Q、F（AB中点）三点共线时，NP+BQ最小，最小值为线段B′F的长度．
    解答：解：（1）由题意，得点B的坐标为（4，-1）．
    ∵抛物线过A（0，-1），B（4，-1）两点，
    ∴，解得：b=2，c=-1，
    ∴抛物线的函数表达式为：y=x2+2x-1．

    （2）i）∵A（0，-1），C（4，3），
    ∴直线AC的解析式为：y=x-1．
    设平移前抛物线的顶点为P，则由（1）可得P的坐标为（2，1），且P在直线AC上．
    ∵点P在直线AC上滑动，∴可设P的坐标为（m，m-1），
    则平移后抛物线的函数表达式为：y=（x-m）2+m-1．
    解方程组：，
    解得，
    ∴P（m，m-1），Q（m-2，m-3）．
    过点P作PE∥x轴，过点Q作QE∥y轴，则
    PE=m-（m-2）=2，QE=（m-1）-（m-3）=2．
    ∴PQ==AP．
    若△MPQ为等腰直角三角形，则可分为以下两种情况：
    ①当PQ为直角边时：点M到PQ的距离为（即为PQ的长）．
    由A（0，-1），B（4，-1），P（2，1）可知，
    △ABP为等腰直角三角形，且BP⊥AC，BP=．
    如答图1，过点B作直线l1∥AC，交抛物线y=x2+2x-1于点M，则M为符合条件的点．
    ∴可设直线l1的解析式为：y=x+b1，
    ∵B（4，-1），∴-1=4+b1，解得b1=-5，
    ∴直线l1的解析式为：y=x-5．
    解方程组，得：，
    ∴M1（4，-1），M2（-2，-7）．

    ②当PQ为斜边时：MP=MQ=2，可求得点M到PQ的距离为．
    如答图1，取AB的中点F，则点F的坐标为（2，-1）．
    由A（0，-1），F（2，-1），P（2，1）可知：
    △AFP为等腰直角三角形，且点F到直线AC的距离为．
    过点F作直线l2∥AC，交抛物线y=x2+2x-1于点M，则M为符合条件的点．
    ∴可设直线l2的解析式为：y=x+b2，
    ∵F（2，-1），∴-1=2+b2，解得b1=-3，
    ∴直线l2的解析式为：y=x-3．
    解方程组，得：，
    ∴M3（1+，-2+），M4（1-，-2-）．
    综上所述，所有符合条件的点M的坐标为：
    M1（4，-1），M2（-2，-7），M3（1+，-2+），M4（1-，-2-）．

    ii）存在最大值．理由如下：
    由i）知PQ=为定值，则当NP+BQ取最小值时，有最大值．

    如答图2，取点B关于AC的对称点B′，易得点B′的坐标为（0，3），BQ=B′Q．
    连接QF，FN，QB′，易得FN∥PQ，且FN=PQ，
    ∴四边形PQFN为平行四边形．
    ∴NP=FQ．
    ∴NP+BQ=FQ+B′P≥FB′==．
    ∴当B′、Q、F三点共线时，NP+BQ最小，最小值为．
    ∴的最大值为=．
    点评：本题为二次函数中考压轴题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数、几何变换（平移，对称）、等腰直角三角形、平行四边形、轴对称-最短路线问题等知识点，考查了存在型问题和分类讨论的数学思想，试题难度较大．
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    （-6，8）
    ．

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    -7
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    在平面直角坐标系中，有A（2，3）、B（3，2）两点．
    （1）请再添加一点C，求出图象经过A、B、C三点的函数关系式．
    （2）反思第（1）小问，考虑有没有更简捷的解题策略？请说出你的理由．

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    如图，在平面直角坐标系中，开口向下的抛物线与x轴交于A、B两点，D是抛物线的顶点，O为精英家教网坐标原点．A、B两点的横坐标分别是方程x2-4x-12=0的两根，且cos∠DAB=
    		2
    2
    ．
    （1）求抛物线的函数解析式；
    （2）作AC⊥AD，AC交抛物线于点C，求点C的坐标及直线AC的函数解析式；
    （3）在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在一点P，使△APC的面积最大？如果存在，请求出点P的坐标和△APC的最大面积；如果不存在，请说明理由．

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    18、在平面直角坐标系中，把一个图形先绕着原点顺时针旋转的角度为θ，再以原点为位似中心，相似比为k得到一个新的图形，我们把这个过程记为【θ，k】变换．例如，把图中的△ABC先绕着原点O顺时针旋转的角度为90°，再以原点为位似中心，相似比为2得到一个新的图形△A1B1C1，可以把这个过程记为【90°，2】变换．
    （1）在图中画出所有符合要求的△A1B1C1；
    （2）若△OMN的顶点坐标分别为O（0，0）、M（2，4）、N（6，2），把△OMN经过【θ，k】变换后得到△O′M′N′，若点M的对应点M′的坐标为（-1，-2），则θ=
    0°（或360°的整数倍）
    ，k=
    2
    ．

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