Question

如图，四边形ABCD中，AC⊥AB．∠ADB=∠ACB，过点A作AE⊥BC，垂足为E，交BD于点F．
（1）求证：AB²=BF•BD；
（2）求证：∠BDC=90°．

Answer 1

解：（1）∵AC⊥AB，AE⊥BC，
∴∠BAE+∠EAC=90°，∠ACB+∠EAC=90°，
∴∠BAE=∠ACB，
∵∠ADB=∠ACB，
∴∠BAF=∠ADB，
∵∠ABF=∠DBA，
∴△ABF∽△DBA，
∴AB²=BF•BD；

（2）∵AC⊥AB，AE⊥BC，
∴AB²=BE•BC，
又∵AB²=BF•BD，
∴BF•BD=BE•BC，
即，
又∵∠EBF=∠CBD，
∴△BEF∽△BDC，
∵∠BEF=90°，
∴∠BDC=90°．
分析：（1）由于AC⊥AB，AE⊥BC，易得∠BAE+∠EAC=90°，∠ACB+∠EAC=90°，利用同角的余角相等可得∠BAE=∠ACB，而
∠ADB=∠ACB，等量代换有∠BAF=∠ADB，结合∠ABF=∠DBA，可证△ABF∽△DBA，从而得AB²=BF•BD；
（2）由于AC⊥AB，AE⊥BC，易得AB²=BE•BC，由（1）知AB²=BF•BD，那么BF•BD=BE•BC，即，结合公共角
∠EBF=∠CBD，从而可证△BEF∽△BDC，又知∠BEF=90°，从而有∠BDC=90°．
点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、射影定理．解题的关键是能根据AC⊥AB，AE⊥BC，直接得出AB²=BE•BC．