Question

已知直线y=-

1

2

x+

5

2

与反比例函数y=

m

x

交于A、B两点，且OA⊥AB．
（1）求OA的长度；
（2）求m的值；
（3）若B点横坐标为整数，请直接写出点B的坐标，并在射线OA上找一点P，使以A、B、P为顶点的三角形与△COD相似．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：代数几何综合题,数形结合

分析：（1）首先求得OC和OD的长度，然后根据△OCD的面积公式即可求得OA的长；
（2）根据一次函数与直线OA垂直，即可求得直线OA的解析式，然后解OA的解析式和直线AB的解析式组成的方程组即可求得A的坐标，利用待定系数法即可求得m的值；
（3）分△BAP∽△COD和△PAB∽△COD两种情况进行讨论，求得AP的长度，然后利用相似三角形的性质求得P的坐标．

解答：解：（1）在y=-

1

2

x+

5

2

中，令x=0，解得：y=

5

2

；
令y=0，解得：x=5，
则C的坐标是（0，

5

2

），D的坐标是（5，0）．
则OC=

5

2

，OD=5．
则CD=

( 5 2 )2+52

=

5 5

2

，
∵S_△OCD=

1

2

OC•OD=

1

2

CD•OA，
∴OA=

OC•OD

CD

=

5 2 ×5

5 5 2

=

5

；

（2）∵OA⊥AB，
∴直线OA的解析式是y=2x．
根据题意得：

y=- 1 2 x+ 5 2 y=2x

，
解得：

x=1 y=2

，
则A的坐标是（1，2），代入y=

m

x

，得：m=2；

（3）根据题意得：

y=- 1 2 x+ 5 2 y= 2 x

，
解得：

x=1 y=2

或

x=4 y= 1 2

，
则B的坐标是（4，

1

2

）．
则AB=

(4-1)2+(2- 1 2 )2

=

3 5

2

，
当△BAP∽△COD时，

AP

OD

=

AB

OC

，即

AP

5

=

3 5 2

5 2

，解得：AP=3

5

，则OP=4

5

，
过P作PF⊥x轴于F，过A作AE⊥x轴于E．
则△OAE∽△POF，
∴

OF

OE

=

PF

AE

=

OP

OA

=

4 5

5

=4，
∴OF=4OE=4，PF=4AE=8，
则P的坐标是（4，8）；
当△PAB∽△COD时，

PA

OC

=

AB

OD

，即

PA

5 2

=

3 5 2

5

，解得：PA=

3 5

4

，
同理可得P的坐标是：（

7

2

，7）．
则P的坐标是：（4，8）或（

7

2

，7）．

点评：本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及相似三角形的判定与性质，通过反比例函数的知识，考查学生的猜想探究能力．解题时先直观地猜想，正确进行讨论是关键．