Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点．
（1）求证：AO²=AE•AD；
（2）若AO=4cm，AD=5cm，求⊙O的面积．

Answer 1

考点：切线长定理,勾股定理,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）利用切线的性质以及切线长定理得出∠AOD=90°，进而得出△AOE∽△ADO，进而得出答案；
（2）利用三角形面积公式以及圆的面积公式求出即可．

解答：（1）证明：根据切线长定理可知：
∵∠OAE+∠ODA=

1

2

（∠BAD+∠ADC）=90°，
∴∠AOD=90°，
∵∠OAE=∠OAE，∠AOD=∠AEO=90°，
∴△AOE∽△ADO，
∴

AE

OA

=

OA

AD

，
即AO²=AE•AD；

（2）解：在Rt△AOD中，
OD=

AD2-AO2

=3，
∵S_△AOD=

1

2

×AD×EO=

1

2

×AO×OD
即5×EO=4×3，
∴EO=

12

5

，
∵OE是⊙O的半径，
∴S_圆O=πr²=

144

25

π．

点评：此题主要考查了切线长定理以及相似三角形的判定与性质，得出EO的长是解题关键．