Question

如图所示，已知抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0），抛物线的对称轴x=2交x轴于点E．
（1）求交点A的坐标及抛物线的函数关系式；
（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在点P，使点P与A，B，C三点构成一个平行四边形？若存在，请直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接CB交抛物线对称轴于点D，在抛物线上是否存在一点Q，使得直线CQ把四边形DEOC分成面积比为1：7的两部分？若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y=x²+bx+c得到b，c的关系式；又因为抛物线的对称轴x=2，可求出b的值，进而求出求交点A的坐标及抛物线的函数关系式；
（2）分别以AC，AB为对角线各可求得一点，再以AC，AB为边求得一点；
（3）此小题要分类讨论：当分的图象左边部分是三角形，右边部分是四边形或当分的图象左边部分是四边形，右边部分是三角形时分别计算满足题意的Q值即可．

解答：解：（1）∵抛物线y=x²+bx+c与x轴交点B（3，0），对称轴x=2，
∴

0=9+3b+c 2= b 2

，
解得：

b=-4 c=3

∴抛物线的函数关系式为y=x²-4x+3，
令y=0，则x²-4x+3=0，
解得：x₁=1，x₂=3．
∴抛物线与x轴另一个交点A的坐标（1，0）；

（2）存在，
满足条件的点P有3个，分别为（-2，3），（2，3），（4，-3）．

（3）存在，
①直线CQ与OE相交，
当x=0时，y=x²-4x+3=3，
∴点C的坐标为（0，3），
过点C、Q的直线关系式y=-9x+3
∴

y=-9x+3 y=x2-4x+3

解得：

x=-5 y=48

，
∴Q（-5，48）；
②直线CQ与DE相交，
过点C、Q的直线关系式y=-

5

4

x+3，
∴

y=- 5 4 x+3 y=x 2-4x+3

，
∴

x= 11 4 y=- 7 16

，
∴Q（

11

4

，-

7

16

）．
综上所述符合条件的Q有两个坐标分别是（-5，48）；（

11

4

，-

7

16

）．

点评：此题考查了二次函数与一次函数，四边形的综合知识，解题的关键是要注意数形结合思想的应用．此题属于中考中的压轴题，难度较大，知识点考查的较多而且联系密切，需要学生认真审题．