Question

（2013•潮南区模拟）如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=

k

x

的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知OA=

10

，点B的坐标为（m，-2），tan∠AOC=

1

3

．
（1）求反比例函数、一次函数的解析式；
（2）求三角形ABO的面积；
（3）在y轴上存在一点P，使△PDC与△CDO相似，求P点的坐标．

Answer 1

分析：（1）过A作AE⊥x轴于E，由tan∠AOE=

1

3

，得到OE=3AE，根据勾股定理即可求出AE和OE的长，即得到A的坐标，代入双曲线即可求出k的值，得到解析式；把B的坐标代入反比例函数的解析式即可求出B的坐标，把A和B的坐标代入一次函数的解析式即可求出a、b的值，即得到答案．
（2）根据一次函数解析式算出D点坐标，可以得到OD的长，S_△AOB=S_△AOD+S_△BOD，代入相应数值可得答案；
（3）过点C作CP⊥AB，交y轴于点P，因为在y轴上存在一点P，使得△PDC与△ODC相似，∠PDC和∠ODC是公共角，∠PCD=∠COD=90°，所以有△PDC∽△CDO，

PD

DC

=

DC

DO

而点C、D分别是一次函数y=

2

3

x-1的图象与x轴、y轴的交点，因此有C（

3

2

，0）、D（0，-1）．OC=

3

2

，OD=1，DC=

13

2

进而可求出PD=

13

4

，OP=

9

4

．写出点P的坐标．

解答：解：（1）过A作AE⊥x轴于E，
tan∠AOE=

1

3

，
∴OE=3AE，
∵OA=

10

，由勾股定理得：OE²+AE²=10，
解得：AE=1，OE=3，
∴A的坐标为（3，1），
∵A点在双曲线上y=

k

x

上，
∴1=

k

3

，
∴k=3，
∴双曲线的解析式y=

3

x

；
∵B（m，-2）在双曲y=

3

x

上，
∴-2=

3

m

，
解得：m=-

3

2

，
∴B的坐标是（-

3

2

，-2），
代入一次函数的解析式得：

3a+b=1 - 3 2 a+b=-2

，
解得：

a= 2 3 b=-1

，
则一次函数的解析式为：y=

2

3

x-1；

（2）连接BO，
∵一次函数的解析式为：y=

2

3

x-1；
∴D（0，-1），
∴S_△AOB=S_△AOD+S_△BOD=

1

2

×DO×3+

1

2

×DO×

3

2

=

1

2

×1×3+

1

2

×1×

3

2

=

9

4

；

（3）过点C作CP⊥AB，交y轴于点P，
∵C，D两点在直线y=

2

3

x-1上，
∴C，D的坐标分别是：C（

3

2

，0），D（0，-1）．
即：OC=

3

2

，OD=1，
∴DC=

13

2

．
∵△PDC∽△CDO，
∴

PD

DC

=

DC

DO

，
∴PD=

DC2

OD

，
又∵OP=DP-OD=

13

4

-1=

9

4

，
∴P点坐标为（0，

9

4

）．

点评：本题主要考查了锐角三角函数的定义，用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，用待定系数法一次函数的解析式，一次函数图象上与坐标轴的交点，勾股定理，相似三角形的判定与性质，关键是求出反比例函数、一次函数的解析式．