Question

（2013•泸州）如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，把△ADE沿AE对折，点D的对称点F恰好落在BC上，已知折痕AE=10

5

cm，且tan∠EFC=

3

4

，那么该矩形的周长为（　　）

A．72cm

B．36cm

C．20cm

D．16cm

Answer 1

分析：根据矩形的性质可得AB=CD，AD=BC，∠B=∠D=90°，再根据翻折变换的性质可得∠AFE=∠D=90°，AD=AF，然后根据同角的余角相等求出∠BAF=∠EFC，然后根据tan∠EFC=

3

4

，设BF=3x、AB=4x，利用勾股定理列式求出AF=5x，再求出CF，根据tan∠EFC=

3

4

表示出CE并求出DE，最后在Rt△ADE中，利用勾股定理列式求出x，即可得解．

解答：解：在矩形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∠B=∠D=90°，
∵△ADE沿AE对折，点D的对称点F恰好落在BC上，
∴∠AFE=∠D=90°，AD=AF，
∵∠EFC+∠AFB=180°-90°=90°，
∠BAF+∠AFB=90°，
∴∠BAF=∠EFC，
∵tan∠EFC=

3

4

，
∴设BF=3x、AB=4x，
在Rt△ABF中，AF=

AB2+BF2

=

(4x)2+(3x)2

=5x，
∴AD=BC=5x，
∴CF=BC-BF=5x-3x=2x，
∵tan∠EFC=

3

4

，
∴CE=CF•tan∠EFC=2x•

3

4

=

3

2

x，
∴DE=CD-CE=4x-

3

2

x=

5

2

x，
在Rt△ADE中，AD²+DE²=AE²，
即（5x）²+（

5

2

x）²=（10

5

）²，
整理得，x²=16，
解得x=4，
∴AB=4×4=16cm，AD=5×4=20cm，
矩形的周长=2（16+20）=72cm．
故选A．

点评：本题考查了矩形的对边相等，四个角都是直角的性质，锐角三角函数，勾股定理的应用，根据正切值设出未知数并表示出图形中的各线段是解题的关键，也是本题的难点．