Question

已知，，是的平分线，点在上，．将三角板的直角顶点放置在点处，绕着点旋转，三角板的一条直角边与射线交于点，另一条直角边与直线、直线分别交于点、点．

（1）如图，当点在射线上时，

①求证： ；

②设，，求与的函数解析式并写出函数的定义域；

（2）连结，当△与△似时，求的长．

 

Answer 1

【答案】

（1）①证明见解析②（2）

【解析】（1）

证明：①过点作，，垂足分别为、．

∵是的平分线，

∴．

由，得．

∴．

∵，

∴．

∴△≌△．                        （3分）

∴．

解：②∵，

∴．

      ∵△≌△，

∴．

∴．                                                           （2分）

∵∥，

∴．

∴．                                                          （2分）

∴                                              （2分）

解：（2）当△与△相似时，点的位置有两种情况：

①当点在射线上时，

∵，，

∴．

∴．

∴．

在Rt△中，．                                （2分）

②当点在延长线上时，

∵，，

∴．

∵，，

∴．

易证，可得．

∴．

∴．

易证△≌△，

可得．

∵∥，

∴．

∴．

∴．                                                     （2分）

（1）①过点P作PM⊥AC，PN⊥BC，垂足分别为M、N，有已知条件证明△PMF≌△PNE即可证明PF=PE；②利用①中的三角形全等和相似三角形的性质即可求出y与x的函数解析式，再写出其自变量的取值范围即可；

（2）当△CEF与△EGP相似时，点F的位置有两种情况：①当点F在射线CA上时，②当点F在AC延长线上时，分别讨论求出满足题意的EG长即可．