【题目】感知:如图1,AD平分∠BAC.∠B+∠C=180°,∠B=90°,易知:DB=DC.
探究:如图2,AD平分∠BAC,∠ABD+∠ACD=180°,∠ABD<90°,求证:DB=DC.
应用:如图3,四边形ABCD中,∠B=45°,∠C=135°,DB=DC=a,则AB﹣AC= (用含a的代数式表示)
【答案】探究:证明见解析;应用:a.
【解析】
试题分析:探究:欲证明DB=DC,只要证明△DFC≌△DEB即可.
应用:先证明△DFC≌△DEB,再证明△ADF≌△ADE,结合BD=EB即可解决问题.
试题解析:探究:
证明:如图②中,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,∵DA平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF,∵∠B+∠ACD=180°,∠ACD+∠FCD=180°,∴∠B=∠FCD,在△DFC和△DEB中,∵∠F=∠DEB,∠FCD=∠B,DF=DB,∴△DFC≌△DEB,∴DC=DB.
应用:解;如图③连接AD、DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,∵∠B+∠ACD=180°,∠ACD+∠FCD=180°,∴∠B=∠FCD,在△DFC和△DEB中,∵∠F=∠DEB,∠FCD=∠B,DC=DB,∴△DFC≌△DEB,∴DF=DE,CF=BE,在RT△ADF和RT△ADE中,∵AD=AD,DE=DF,∴△ADF≌△ADE,∴AF=AE,∴AB﹣AC=(AE+BE)﹣(AF﹣CF)=2BE,在RT△DEB中,∵∠DEB=90°,∠B=∠EDB=45°,BD=a,∴BE=a,∴AB﹣AC=a.故答案为:a.
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【题目】已知抛物线y=a(x﹣1)2﹣3(a≠0)的图象与y轴交于点A(0,﹣2),顶点为B.
(1)试确定a的值,并写出B点的坐标;
(2)若一次函数的图象经过A、B两点,试写出一次函数的解析式;
(3)试在x轴上求一点P,使得△PAB的周长取最小值;
(4)若将抛物线平移m(m≠0)个单位,所得新抛物线的顶点记作C,与原抛物线的交点记作D,问:点O、C、D能否在同一条直线上?若能,请求出m的值;若不能,请说明理由.
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【题目】如图所示,是反映了爷爷每天晚饭或从家中出发去散步的时间与距离之间的关系的一幅图.
(1)下图反映了哪两个变量之间的关系?
(2)爷爷从家里出发后20分钟到30分钟可能在做什么?
(3)爷爷每天散步多长时间?
(4)爷爷散步时最远离家多少米?
(5)计算爷爷离开家后的20分钟内的平均速度.
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【题目】在实数范围内定义运算“♀”,该运算同时满足下列条件:
(1)x♀x=5,(x≠5);(2)x♀(y♀z)=(x♀y)+z,则2015♀2017的值是( )
A. 2 B. 3 C. 2015 D. 2017
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2+与y轴相交于点A,点B与点O关于点A对称
(1)填空:点B的坐标是 ;
(2)过点B的直线y=kx+b(其中k<0)与x轴相交于点C,过点C作直线l平行于y轴,P是直线l上一点,且PB=PC,求线段PB的长(用含k的式子表示),并判断点P是否在抛物线上,说明理由;
(3)在(2)的条件下,若点C关于直线BP的对称点C′恰好落在该抛物线的对称轴上,求此时点P的坐标.
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【题目】如图,在△ABC中,以AB为直径的⊙O分别与BC,AC相交于点D,E,BD=CD,过点D作⊙O的切线交边AC于点F.
(1)求证:DF⊥AC;
(2)若⊙O的半径为5,∠CDF=30°,求的长(结果保留π).
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