Question

14．平面直角坐标系中，点A、点C的坐标分别为（-1，0）和（0，-2），M在x轴正半轴上，⊙M过A、C两点且与x轴的另一个交点为点B．
（1）求M点和B点的坐标（如图1）；
（2）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式及抛物线的顶点D的坐标，并判断直线CD与⊙M的位置关系．说明理由（如图2）．

Answer 1

分析 （1）根据点A、点C的坐标分别为（-1，0）和（0，-2），得到OA=1，OC=2，OM=CM-1，根据勾股定理即可得到结论；
（2）设经过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，列方程组即可得到经过A、B、C三点的抛物线的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2，配方得到D（$\frac{3}{2}$，-$\frac{25}{8}$）；求得CD直线的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x-2，得到点E的坐标为（-$\frac{8}{3}$，0），根据勾股定理得到CE=$\sqrt{O{C}^{2}+O{E}^{2}}$=$\frac{10}{3}$，根据勾股定理的逆定理得到△ECM是直角三角形，即MC⊥EC，于是得到直线CD与⊙M相切．

解答 解：（1）∵点A、点C的坐标分别为（-1，0）和（0，-2），
∴OA=1，OC=2，OM=CM-1，
∵CM²=OM²+OC²，
∴CM²=（CM-1）²+2²，
∴CM=2.5，OM=1.5，
∴OB=4，
∴M（1.5，0），B（4，0）；

（2）设经过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=a-b+c}\\{0=16a+4b+c}\\{-2=c}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{3}{2}}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
∴经过A、B、C三点的抛物线的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2，
∵y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2=$\frac{1}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{25}{8}$，
∴D（$\frac{3}{2}$，-$\frac{25}{8}$）；
直线CD与⊙M相切；
设过CD直线的解析式为y=kx+b，
∵抛物线的顶点D点的坐标为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{25}{8}$），
∴CD直线的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x-2，
∴点E的坐标为（-$\frac{8}{3}$，0），
∴CE=$\sqrt{O{C}^{2}+O{E}^{2}}$=$\frac{10}{3}$，
∴EM=OE+OM=$\frac{25}{6}$，
∵CM²=$\frac{25}{4}$，CE²=$\frac{100}{9}$，EM²=$\frac{625}{36}$，
∴CM²+CE²=EM²，
∴△ECM是直角三角形，即MC⊥EC，
∴直线CD与⊙M相切．

点评 此题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，圆的切线的有关知识的运用，是一道综合性很强的题目，难度较大．