Question

如图，正方形ABCD中，E为AD的中点，DF⊥CE于M，交AC于点N，交AB于点F，连结EN、BM．有如下结论：
①△ADF≌△DCE；②MN=FN；③CN=2AN；④S_△ADN：S_CNFB=2：5．
其中正确结论的个数为（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：①本题需先根据已知条件，得出△ADF与△DCE相似，即可得出结果．
②本题需先根据AE=AF，∠NAF=∠NAE，AN=AN这三个条件，得出△ANF≌△ANE，即可得出结论．
③本题需先根据AF∥CD，得出CN与AN的比值，即可求出结果．
④本题需先连接CF，再设S_△ANF=1，即可得出S_△ADN与S_{四边形CNFB}的比值即可．

解答：解：①在△ADF和△DCE中，

∠ADF=∠DCE ∠DAF=∠EDC AD=CD

∴△ADF≌△DCE（AAS），
故本选项正确；

②∵△ADF≌△DCE，
∴DE=AF，
∵AE=DE，
∴AE=AF，
在△ANF和△ANE中，

AE=AF ∠NAF=∠NAE AN=AN

，
∴△ANF≌△ANE（SAS），
∴NF=NE，
∵NM⊥CE，
∴NE＞MN，
∴NF＞MN，
∴MN=FN错误，
故本选项错误；

③∵AF∥CD，
∴∠CDN=∠NFA，∠DCN=∠NAF，
∴△DCN∽△FAN，
又∵△ADF≌△DCE，且四边形ABCD为正方形，
∴AF=

1

2

AB=

1

2

DC，
∴

CN

AN

=

CD

AF

=2，
∴CN=2AN，
故本选项正确；

④连接CF，
设S_△ANF=1，
则S_△ACF=3，S_△ADN=2，
∴S_△ACB=6，
∴S_{四边形CNFB}=5，
∴S_△ADN：S_{四边形CNFB}=2：5，
故本选项正确．
故选C．

点评：本题主要考查了正方形的性质问题，在解题时要注意全等三角形、相似等知识的综合利用，在做题时要结合图形是解题的关键．