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提出问题:小明是个爱思考的学生,在学习了三角函数后小明发现:
sin90°=1,sin45°=
2
2
,90°是45°的两倍,但三角函数值却是
2
倍;
sin30°=
 
,sin60°=
 
,60°是30°的两倍,但三角函数值却是
 
倍,
考虑到cos45°,cos30°的三角函数值,估计sin2α=2sinαcosα,代入检验发现以上两组角度都符合.
解决问题:那么如何证明sin2α=2sinαcosα呢?
小明思考再三,发现在△ABC中(图2),高AD=ABsinB,可得S△ABC=
1
2
BC•ABsinB

利用这个结论证明上述命题结论.聪明的你也能解决这个问题吗?
如图2,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D,设∠BAD=α,求证:sin2α=2sinαcosα.
推广应用:解决了以上问题后,小明思考再三,终于发现了sin(α+β)与sinα,cosα,sinβ,cosβ的关系,
你能结合图3证明出自己所猜想的sin(α+β)与sinα,cosα,sinβ,cosβ的关系吗?
并利用上述关系求出sin75°的值(保留根号).
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分析:把30°,60°的正弦值代入并计算即可填空;
解决问题:根据题目信息,利用角2α与α表示△ABC的面积,S△ABC=2S△ABD,然后整理,再根据余弦定义,余弦=邻边:斜边,进行代换即可证明;
推广应用:证明思路与解决问题相同,利用角α与β表示△ABD的面积,S△ABD=S△ABC+S△ACD,然后整理,再根据余弦定义,余弦=邻边:斜边,进行代换即可证明,把75°分成30°与45°的和,然后把特殊角的三角函数值代入计算即可.
解答:提出问题:
sin30°=
1
2
,sin60°=
3
2
,60°是30°的两倍,但三角函数值却是
3
倍;(3分)

解决问题:如图2,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D,设∠BAD=α.
求证:sin2α=2sinαcosα,
证明:根据题目信息,S△ABC=
1
2
AB•ACsin2α,S△ABD=
1
2
AB•ADsinα,
∵AB=AC,AD⊥BC于D,
∴S△ABC=2S△ABD
1
2
AB•ACsin2α=2×
1
2
AB•ADsinα,
即sin2α=2sinα×
AD
AC

在Rt△ADC中,
AD
AC
=cosα,
∴sin2α=2sinαcosα;(3分)

推广应用:结论:sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,(1分)
证明:S△ABD=
1
2
AB•ADsin(α+β),S△ABC=
1
2
AB•ACsinα,S△ACD=
1
2
AC•ADsinβ,
∵S△ABD=S△ABC+S△ACD
1
2
AB•ADsin(α+β)=
1
2
AB•ACsinα+
1
2
AC•ADsinβ,
即sin(α+β)=sinα×
AC
AD
+sinβ×
AC
AB

在Rt△ACD中,
AC
AD
=cosβ,
在Rt△ABC中,
AC
AB
=cosα,
∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ;
并利用上述关系求出sin75°的值(保留根号).
sin75°=sin30°cos45°+cos30°sin45°=
1
2
×
2
2
+
3
2
×
2
2
=
2
6
4
.(1分)
点评:本题通过题目提供信息考查了解直角三角形,特殊角的三角函数值,读懂题目信息并根据信息表示出三角形的面积是解题的关键.
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

数学家们通过长期的研究,得到了关于“等周问题”的重要结论:在周长相同的所有封闭平面曲线中,以圆所围成的面积最大.
“等周问题”虽然较为繁杂,但其根本思想基于下面2个事实:
事实1:等周长n边形的面积,当图形为正n边形时,其面积最大;
事实2:等周长n边形的面积,当边数n越大时,其面积也越大.
为了理解这些事实的合理性,曙光数学小组走出校门展开了下列课题研究.请你帮助他们解决其中的一些问题.
现有长度为100m的篱笆(可弯曲围成一个区域).
(1)如果用篱笆围成一个长方形鸡场,怎样围才能使鸡场的面积最大?为什么?
(2)如果用篱笆围成一个正五边形鸡场,那么与(1)中的正方形鸡场比较,哪个面积更大?请在事实1的基础上证明事实2:“等周长n边形的面积,当边数n越大时,其面积也越大.”
(3)利用事实1和事实2,请对“等周问题”的重要结论作出较为合理的解释.
(4)爱动脑筋的小明提出一个问题:如果借用一条充分长的直墙,将篱笆围成一个四边形鸡场,为了使鸡场的面积尽量大,所围成的长方形鸡场的长是宽的2倍(如图).你觉得他讲的是否有道理?你有没有更好的方法,使围成的四边形鸡场的面积更大?如果有,请说明你的方法.
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科目:初中数学 来源: 题型:填空题

提出问题:小明是个爱思考的学生,在学习了三角函数后小明发现:
sin90°=1,数学公式,90°是45°的两倍,但三角函数值却是数学公式倍;
sin30°=________,sin60°=________,60°是30°的两倍,但三角函数值却是________倍,
考虑到cos45°,cos30°的三角函数值,估计sin2α=2sinαcosα,代入检验发现以上两组角度都符合.
解决问题:那么如何证明sin2α=2sinαcosα呢?
小明思考再三,发现在△ABC中(图2),高AD=ABsinB,可得数学公式
利用这个结论证明上述命题结论.聪明的你也能解决这个问题吗?
如图2,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D,设∠BAD=α,求证:sin2α=2sinαcosα.
推广应用:解决了以上问题后,小明思考再三,终于发现了sin(α+β)与sinα,cosα,sinβ,cosβ的关系,
你能结合图3证明出自己所猜想的sin(α+β)与sinα,cosα,sinβ,cosβ的关系吗?
并利用上述关系求出sin75°的值(保留根号).

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科目:初中数学 来源:2008-2009学年九年级(上)数学月考试卷(二)(英才班)(解析版) 题型:解答题

数学家们通过长期的研究,得到了关于“等周问题”的重要结论:在周长相同的所有封闭平面曲线中,以圆所围成的面积最大.
“等周问题”虽然较为繁杂,但其根本思想基于下面2个事实:
事实1:等周长n边形的面积,当图形为正n边形时,其面积最大;
事实2:等周长n边形的面积,当边数n越大时,其面积也越大.
为了理解这些事实的合理性,曙光数学小组走出校门展开了下列课题研究.请你帮助他们解决其中的一些问题.
现有长度为100m的篱笆(可弯曲围成一个区域).
(1)如果用篱笆围成一个长方形鸡场,怎样围才能使鸡场的面积最大?为什么?
(2)如果用篱笆围成一个正五边形鸡场,那么与(1)中的正方形鸡场比较,哪个面积更大?请在事实1的基础上证明事实2:“等周长n边形的面积,当边数n越大时,其面积也越大.”
(3)利用事实1和事实2,请对“等周问题”的重要结论作出较为合理的解释.
(4)爱动脑筋的小明提出一个问题:如果借用一条充分长的直墙,将篱笆围成一个四边形鸡场,为了使鸡场的面积尽量大,所围成的长方形鸡场的长是宽的2倍(如图).你觉得他讲的是否有道理?你有没有更好的方法,使围成的四边形鸡场的面积更大?如果有,请说明你的方法.

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科目:初中数学 来源:2010年浙江省衢州市华茂外国语学校中考数学二模试卷(解析版) 题型:解答题

提出问题:小明是个爱思考的学生,在学习了三角函数后小明发现:
sin90°=1,,90°是45°的两倍,但三角函数值却是倍;
sin30°=______,sin60°=______

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