Question

5．如图，AB是⊙O的直径，C是AB弧上一点，AP平分∠BAC，AB=3，AC=1，则PB=$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 延长AC，BP交于D，由AB是⊙O的直径，得到∠APB=∠ACB=90°，求得∠APD=∠DCB=90°，根据角平分线的定义得到∠DAP=∠BAP，推出△ADP≌△ABP，根据全等三角形的性质得到PD=PB，AD=AB=3，根据勾股定理得到BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，BD=$\sqrt{C{D}^{2}+B{C}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，即可得到结论．

解答 解：延长AC，BP交于D，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠APB=∠ACB=90°，
∴∠APD=∠DCB=90°，
∵AP平分∠BAC，
∴∠DAP=∠BAP，
在△ADP与△ABP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DAP=∠BAP}\\{AP=AP}\\{∠APD=∠APB}\end{array}\right.$，
∴△ADP≌△ABP，
∴PD=PB，AD=AB=3，
∴CD=AD-AC=2，
∵∠ACB=90°，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴BD=$\sqrt{C{D}^{2}+B{C}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴PB=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．