如图，已知等边△ABC中，AB=4．
实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）：①以线段AB为直径作圆，圆心为O，AC、BC分别与⊙O交于点D、E；②延长AB到点P，使BP=OB，连接PE．
推理与运用：请根据上述作图解答下面问题：
（1）判断PE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若点F是⊙O上一点，且点B是弧EF的中点，则弦EF的长为______．

解：实践与操作：如图1所示：
推理与运用：
（1）相切，理由如下：
如图1，连接OE，
∵OB、OE是⊙O半径，
∴OB=OE，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∴△EOB是等边三角形，
∴EB=OB，
∵BP=OB，
∴在△OPE中，EB是OP边上的中线，且EB= $\text{[math]}$ OP，
∴△OPE是直角三角形，∠OEP=90°，
∴OE⊥PE，
∴PE与⊙O相切；

（2）如图2，连接EF，交OB于点M，
∵等边△ABC中，
∴∠ABC=60°，
∵BO=OE，
∴△OBE是等边三角形，
∵AB=4，
∴BO=EO=BE=2，
∵点F是⊙O上一点，且点B是 $\text{[math]}$ 的中点，
∴EF⊥OB，
∴OM=BM= $\text{[math]}$ OB= $\text{[math]}$ ×2=1，
∴EM= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴EF=2 $\text{[math]}$ ．
故答案为： $\text{[math]}$ ．
分析：实践与操作：作出AB的垂直平分线，进而得出圆心位置，再根据要求画出图象即可；
（1）利用等边三角形的性质得出△OPE是直角三角形，再利用切线的判定得出即可；
（2）利用等边三角形的判定得出△OBE是等边三角形，再利用垂径定理推论得出EF⊥OB，进而利用勾股定理得出EM的长，即可求出EF的长．
点评：此题主要考查了垂径定理的推论以及等边三角形的判定与性质以及切线的判定等知识，利用垂径定理推论得出EF⊥OB是解题关键．

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如图，已知等边三角形ABC的中位线DE的长为1，
则下面结论中正确的是

．（填序号）

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④△DAE的面积与△BAC的面积之比为1：4．

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①设矩形的一边FG=x，那么EF=

；（用含有x的代数式表示）

②设矩形的面积为y，当x取何值时，y的值最大，最大值是多少？
（2）当矩形EFGH面积最大时，请在图②中画出此时点E的位置．（要求尺规作图，保留作图痕迹，并简要说明确定点E的方法）

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，那么向量

的模|

．

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（2007•临夏州）[（1）-（3），10分]如图，已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC（或其延长线）的距离分别为h₁、h₂、h₃，△ABC的高为h．
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在图（2）--（5）中，点P分别在线段MC上、MC延长线上、△ABC内、△ABC外．
（1）请探究：图（2）--（5）中，h₁、h₂、h₃、h之间的关系；（直接写出结论）
（2）证明图（2）所得结论；
（3）证明图（4）所得结论．
（4）在图（6）中，若四边形RBCS是等腰梯形，∠B=∠C=60°，RS=n，BC=m，点P在梯形内，且点P到四边BR、RS、SC、CB的距离分别是h₁、h₂、h₃、h₄，桥形的高为h，则h₁、h₂、h₃、h₄、h之间的关系为：

m（h₁+h₂+h₃）-n（h₁+h₃-h₄）=（m+n）h

；图（4）与图（6）中的等式有何关系？

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如图，已知等边三角形ABC的边长为10，点P、Q分别为边AB、AC上的一个动点，点P从点B出发以1cm/s的速度向点A运动，点Q从点C出发以2cm/s的速度向点A运动，连接PQ，以Q为旋转中心，将线段PQ按逆时针方向旋转60°得线段QD，若点P、Q同时出发，则当运动

s时，点D恰好落在BC边上．

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